6. Inerces moments

 Kā zināms, masa ir ķermeņa inerces mērs. Ja ķermenim ir lielāka masa, to ir grūtāk gan iekustināt, gan apstādināt. Ja ķermenis atrodas rotācijas kustībā, tad inerce ir atkarīga ne tikai no ķermeņa masas, bet arī no attāluma līdz rotācijas asij.
Lai aprakstītu rotējoša ķermeņa inerci, izmanto inerces momentu.

 

 

Kad masas punkts m kustas pa riņķa līniju ar rādiusu \(R\), tad inerces moments vienāds ar $I=m\cdot R^2$.
Inerces momenta vienība SI vienību sistēmā ir $\mathit{kg}\cdot m^2$.
Kad ķermenim ir regulāra forma (cilindrs, sfēra, lode, gredzens), tad inerces momentu var izteikt ar vienkāršām formulām.

 

 

Ir viegli pārbaudīt, ka viena un tā paša ķermeņa inerces moments var būt atkarīgs no rotācijas ass izvēles. Piemēram, cepot cīsiņus uz ugunskura, tos var grozīt kā attēlots gan pirmā zīmējumā, gan otrā zīmējumā. Tomēr griezt cīsiņu pa gareno asi ir vieglāk. Šī gadījumā visa cīsiņa masa atrodas tuvu rotācijas asij, un inerces moments ir mazāks.

 

 

Otrā gadījumā griezt cīsiņus ir nedaudz grūtāk, jo masa atrodas tālāk no rotācijas ass un ķermeni raksturo lielāks inerces moments. Tas pilnīgi sakrīt ar 1. un 2. formulu, pieņemot, ka cīsiņi ir cilindri.

 

Ar inerces momentu ir jārēķinās arī daiļslidotājiem. \(A\) zīmējumā inerces moments ir mazāks (līdz ar to rotācijas ātrums ir lielāks), bet \(B\) zīmējumā inerces moments ir lielāks (rotācijas ātrums ir mazāks).

 

 

Pieņemsim, ka materiālais punkts rotē ap nekustīgu asi \(Y\) ar leņķisko paātrinājumu \(ϵ\).

 

Izmantojot otro Ņūtona likumu $F=m\cdot a_{\mathrm{\tau }}$ un ievērojot, ka tangenciālais paātrinājums ir vienāds ar: $a_{\mathrm{\tau }}=\mathrm{ϵ}\cdot R$, iegūst $F=m\cdot \mathrm{ϵ}\cdot R$.

Aprēķinam spēka momentu pēc formulas:
$M=F\cdot l,\mathit{kur}l=R$.
No tā izriet $M=m\cdot \mathrm{ϵ}\cdot R\cdot R=m\cdot \mathrm{ϵ}\cdot R^2$.
Savukārt inerces moments ir vienāds ar $I=m\cdot R^2$. Tātad $M=I\cdot \mathrm{ϵ}$.
Tas ir dinamikas pamatlikums rotējošam ķermenim. Šis likums nosaka, ka ķermeņa inerces momenta reizinājums ar tā leņķisko paātrinājumu ir vienāds pielikto spēku momentu (jeb momentu summu) attiecībā pret šo asi.
Rotējošiem ķermeņiem piemīt arī kinētiskā enerģija, kuru var aprēķināt pēc formulas:

 

$E_k=\frac{I{\cdot \mathrm{\omega }}^2}{2}$, kur $\mathrm{\omega }$ — leņķiskais ātrums.

Formulu var iegūt, apvienojot formulas: