1. Iekšējā enerģija un molekulas brīvības pakāpju skaits

Ideālās gāzes modelī pieņem, ka vielas daļiņas (molekulas un atomi) ir masas punkti, starp kuriem nav mijiedarbības un kuru sadursmes ir absolūti elastīgas (izpildās enerģijas nezūdamības likums).

 

Aplūkojot vienatoma ideālo gāzi, tika noskaidrots, ka vidējā kinētiskā enerģija ir vienāda:

$\overline{E}=\frac{3}{2}\mathit{kT}$, kur

\(k\) — Bolcmaņa konstante,

\(T\) — absolūtā temperatūra,

$\overline{E}$ — vidējā kinētiskā enerģija (bieži apzīmē $\overline{W}$).

 

Sakarībai ir statistisks raksturs. Sakarība ietver sevī gan makroskopisko parametru — temperatūru (kuru var izmērīt), gan mikroskopisko parametru — molekulu vidējo enerģiju (kuru tieši nevar izmērīt). Temperatūra arī ir statistisks lielums, kuram ir jēga tikai lielam molekulu skaitam. Jāievēro, ka molekulām, piemēram gaisā, ir dažādi kustības ātrumi.

 

Vienatoma ideālās gāzes atomu var uzskatīt par materiālo punktu, kura virzes kustības stāvokli telpā raksturo ar trim koordinātām (\(x\),\(\ y\) un \(z\)), kurus sauc par brīvības pakāpēm un apzīmē ar burtu \(i\).

 

 

Tātad vienas molekulas vidējā kinētiskā enerģija ir vienāda ar $\overline{E}=\frac{i}{2}\mathit{kT},\mathit{kur}i=3$. No tā izriet, ka vienai brīvības pakāpei atbilst $\frac{1}{2}\mathit{kT}$ liela vidējā kinētiskā enerģija.

Lai aprēķinātu gāzes iekšējo enerģiju, jāievēro, ka gāze sastāv no \(N\) molekulām, kur $N=\frac{m}{M}{N}_A$.

 

No tā izriet, $U=\frac{3}{2}\mathit{kT}\cdot N=\frac{3}{2}\mathit{kT}\cdot \frac{m}{M}{N}_A=\frac{3}{2}\frac{m}{M}\mathit{RT},\mathit{kur}R=k{\cdot N}_A$.

 

Izmantojot ideālās gāzes stāvokļa vienādojumu $\mathit{pV}=\frac{m}{M}\mathit{RT}$, iegūst $U=\frac{3}{2}\mathit{pV}$.

 

Aplūkosim divatomu gāzi. Modelējot tādas gāzēs molekulu, izriet, ka tā sastāv no divām lodītēm, kas savienotas ar stienīti. Pieņemsim, ka attālums starp lodītēm — atomiem nemainās.

 

 

Šādas molekulas masas centra (sarkanais punkts) virzes kustības stāvokli raksturo ar trim koordinātām (\(x\),\(\ y\) un \(z\)), ka arī molekulai pastāv iespēja rotēt ap divām savstarpēji perpendikulārām asīm (\(Y\) un \(Z\)). ievērojot, ka vienai brīvības pakāpei atbilst $\frac{1}{2}\mathit{kT}$ liela vidējā kinētiskā enerģija, tad piecām brīvības pakāpēm atbilst enerģija $\frac{5}{2}\mathit{kT}$. Ievērojot iepriekš minētas formulas, iegūst formulu iekšējās enerģijas aprēķināšanai $U=\frac{5}{2}\frac{m}{M}\mathit{RT}$ jeb $U=\frac{5}{2}\mathit{pV}$.

 

Ja molekula sastāv no vairāk nekā diviem atomiem, tad molekulas stāvokli telpā raksturo ar sešām brīvības pakāpēm (trīs brīvības pakāpes atbilst virzes kustībai un trīs brīvības pakāpes atbilst rotācijas kustībai).

 

 

Tātad vidējā kinētiskā enerģija ir vienāda $\frac{6}{2}\mathit{kT}=3\mathit{kT}$.

 

Trīs atomu gāzes iekšējo enerģiju var aprēķināt pēc formulas $U=\frac{6}{2}\frac{m}{M}\mathit{RT}=3\frac{m}{M}\mathit{RT}$ jeb $U=\mathit{3pV}$.

 

Ar ko reālā gāze atšķiras no ideālās gāzes? Starp reālās gāzes molekulām darbojas pievilkšanas spēki. Tātad molekulām piemīt gan kinētiskā, gan potenciālā enerģija. Reālās gāzes iekšējo enerģiju nosaka pēc formulas:

 

$U=\frac{i}{2}\frac{m}{M}\mathit{RT}-{(\frac{m}{M})}^2\cdot \frac{a}{V}$, kur

\(V\) — gāzes tilpums,

\(a\) — gāzei raksturīga konstante.