Par vienādojumu sistēmu ar diviem mainīgajiem atrisinājumu kopu sauc tos skaitļus, kurus, ievietojot sistēmas katrā vienādojumā, iegūst pareizu skaitlisku vienādību.
Svarīgi!
Atrisināt vienādojumu sistēmu nozīmē atrast visus tās atrisinājumus vai arī pierādīt, ka sistēmai atrisinājumu nav.
Viens no vienādojumu sistēmas atrisināšanas veidiem ir grafiskais paņēmiens.
Tas nozīmē, ka vienā koordinātu sistēmā ir jāzīmē abu doto vienādojumu grafiki un šo grafiku krustpunktu koordinātas ir abu vienādojumu atrisinājums.
Piemērs:
Dota vienādojumu sistēma ar diviem mainīgiem
Vispirms no katra vienādojuma izsaka mainīgo \(y\) un, izveidojot vērtību tabulas, aprēķina mainīgo \(x\) vērtības brīvi izvēlētos punktos:
1. vienādojuma tabula:
|
\(x\)
|
\(-2\)
|
\(0\)
|
\(2\)
|
|
\(y\)
|
\(2\)
|
\(1\)
|
\(0\)
|
- ja \(x = -2\), tad \(y = 1 - (-2) : 2 = 1 + 2 : 2 = 2\)
- ja \(x = 0\), tad \(y = 1 - 0 : 2 = 1\)
- ja \(x = 2\), tad \(y = 1 - 2 : 2 = 0\)
2. vienādojuma tabula:
|
\(x\)
|
\(0\)
|
\(1\)
|
\(2\)
|
|
\(y\)
|
\(-4\)
|
\(-2\)
|
\(0\)
|
- ja \(x = 0\), tad \(y = 2·0 - 4 = - 4\)
- ja \(x = 1\), tad \(y = 2·1 - 4 = - 2\)
- ja \(x = 2\), tad \(y = 2·2 - 4 = 0\)
Ievērojot iegūtās vērtības, koordinātu plaknē atliek iegūtos punktus un zīmē grafikus:
Punkts \(A\) ir abu vienādojumu atrisinājums.
Atbildes pieraksta veidi: (\(2; 0\)) vai
Lineāru vienādojumu sistēmu atrisinājumiem var būt trīs veidi:
- ja grafiki krustojas, tad vienādojumu sistēmai ir viens atrisinājums;
- ja grafikiem nav kopīgu punktu (tie nekrustojas - ir paralēli), tad vienādojumus sistēmai nav atrisinājuma;
- ja grafiki sakrīt, tad vienādojumu sistēmai ir bezgalīgi daudz atrisinājumu.
Lai atrisinātu vienādojumu sistēmu grafiski, rīkojas pēc sekojoša plāna:
1) veicot ekvivalentus pārveidojumus, no vienādojumiem izsaka vienu no mainīgajiem, visbiežāk \(y\);
2) nosaka grafika veidu;
3) izveido vērtību tabulas, kur brīvi izvēlas \(x\) vērtību, bet \(y\) vērtību aprēķina;
4) vienā koordinātu sistēmā uzzīmē abu vienādojumu grafikus, atliekot iegūtos punktus;
5) nosaka grafikus krustpunktu koordinātas un pieraksta atbildi.
Jāatceras, ka ne vienmēr krustpunktu koordinātas var noteikt precīzi!
Piemērs:
Atrisini grafiski vienādojumu sistēmu
Risinājums
1) No abiem vienādojumiem izsaka mainīgo \(y:\)
2) Pirmā vienādojuma grafiks ir parabola, kurai zari ir vērsti uz leju; otrā vienādojuma grafiks ir taisne
3) Izveido abu vienādojumu vērtību tabulas:
1. vienādojuma tabula
|
\(x\)
|
\(-1\)
|
\(0\)
|
\(1\)
|
\(2\)
|
|
\(y\)
|
\(0\)
|
\(1\)
|
\(0\)
|
\(-3\)
|
- ja \(x = -1\), tad \(y = 1 - (-1)²= 0\)
- ja \(x = 0\), tad \(y = 1 - 0² = 1\)
- ja \(x = 1\), tad \(y = 1 - 1² = 0\)
- ja \(x = 2\), tad \(y = 1 - 2² = -3\)
2. vienādojuma tabula
|
\(x\)
|
\(0\)
|
\(1\)
|
\(2\)
|
|
\(y\)
|
\(1\)
|
\(0\)
|
\(-1\)
|
- ja \(x = 0\), tad \(y = 1 - 0 = 1\)
- ja \(x = 1\), tad \(y = 1 - 1 = 0\)
- ja \(x = 2\), tad \(y = 1 - 2 = - 1\)
4) uzzīmē abus grafikus:
5) grafiki krustojas divos punktos \(A\) un \(B\). Šo punktu koordinātas ir dotās vienādojumu sistēmas atrisnājums. Nolasa koordinātas:
\(A(0; 1)\)
\(B(1; 0)\).
Sistēmas atrisinājumu var pierakstīt arī šādi
Atbilde: \((0; 1)\) ; \((1; 0).\)