Trijstūra viduslīnija — teorija. Matemātika (Skola2030), 9. klase.

Nogriezni, kas savieno trijstūra divu malu viduspunktus, sauc par šī trijstūra viduslīniju.

Nogrieznis \(EF\) ir trijstūra \(ABC\) viduslīnija.

Tā kā trijstūrim ir \(3\) malas, tad tam ir arī \(3\) viduslīnijas:

Nogrieznis \(EF\) ir paralēls malai \(AC\) un ir trijstūra \(ABC\) viduslīnija.

Nogrieznis \(EK\) ir paralēls malai \(BC\) un ir trijstūra \(ABC\) viduslīnija.

Nogrieznis \(KF\) ir paralēls malai \(AB\) un ir trijstūra \(ABC\) viduslīnija.

Svarīgi!

Neatkarīgi no trijstūra veida - jebkurā trijstūrī var novilkt 3 viduslīnijas!

Teorēma:

Trijstūra viduslīnija ir paralēla tā malai, un tās garums ir vienāds ar pusi no šīs malas garuma.

EF ∥ AC un EF = \frac{1}{2} \cdot AC

Piemērs:

\(EF\) ir trijstūra \(ABC\) viduslīnija un malas \(AC\) garums ir \(24\) \(cm\).

Aprēķini viduslīnijas garumu!

Ja \(AC\) = \(24\) \(cm\) un \(EF\) ir trijstūra \(ABC\) viduslīnija, tad

EF = \frac{1}{2} \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 24 = \frac{24}{2} = 12 (cm)

Atbilde: \(EF\) \(=\) \(12\) \(cm\).

Piemērs:

Nogrieznis \(AB\) ir trijstūra \(EFK\) viduslīnija. \(EK\) \(=\) \(8\) \(cm\), \(AF\) \(=\) \(5\) \(cm\).

Aprēķini \(AB\), \(AE\) un \(EF\) garumus!

Pielieto teorēmu par trijstūra viduslīniju:

AB = \frac{1}{2} \cdot EK = \frac{1}{2} \cdot 8 = \frac{8}{2} = 4 (cm)

Pielietojot viduslīnijas definīciju, \(EA\) \(=\) \(AF\) \(=\) \(5\) \(cm\).

\(EF = 2 · AF = 2 · 5\) \(=\) \(10\) \(cm\).

Atbilde: \(AB\) \(=\) \(4\) \(cm\), \(AE\) \(=\) \(5\) \(cm\), \(EF\) \(=\) \(10\) \(cm\).

Piemērs:

Trijstūra \(ABC\) perimetrs ir \(12\) \(cm\). Trijstūrī ir ievilkts vēl viens trijstūris, kura virsotnes atrodas dotā trijstūra malu viduspunktos.

Aprēķini iegūtā trijstūra perimetru!

Uzdevuma nosacījumos teikts, ka punkti \(E\), \(F\) un \(K\) ir trijstūra \(ABC\) malu viduspunkti.

Tātad \(EF\), \(FK\) un \(EK\) ir trijstūra \(ABC\) viduslīnijas.

Pielietojot teorēmu par trijstūra viduslīniju, iegūst, ka

\begin{array}{l} P (EFK) = \frac{1}{2} \cdot P (ABC) = \frac{1}{2} \cdot (AB + BC + AC) = \\ = \frac{1}{2} \cdot 12 = \frac{12}{2} = 6 (cm) \end{array}

Atbilde: \(P(EFK)\) \(=\) \(6\) \(cm\).

Piemērs:

Taisnstūra diagonāles garums ir \(8\) \(cm\).

Aprēķini tā nogriežņa garumu, kas iegūts, savienojot taisnstūra blakus malu viduspunktus!

\(BD\) ir taisnstūra \(ABCD\) diagonāle un \(EF\) ir trijstūra \(ABD\) viduslīnija, jo punkti \(E\) un \(F\) ir taisnstūra malu viduspunkti.

Tā kā \(BD\) \(=\) \(8\) \(cm\), tad:

EF = \frac{1}{2} \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 8 = \frac{8}{2} = 4 (cm)

Atbilde: \(EF\) \(=\) \(4\) \(cm\).

Atradi kļūdu?

1. Trijstūra viduslīnija