Līdzīgu trijstūru perimetrs un laukums — teorija. Matemātika (Skola2030), 9. klase.

Divus trijstūrus sauc par līdzīgiem, ja to atbilstošie leņķi ir vienādi un atbilstošās malas ir proporcionālas.

Skaitli \(k\), kas ir vienāds ar trijstūra atbilstošo malu attiecību, sauc par trijstūra līdzības koeficientu.

Δ ABC \sim Δ DEF

, tad

\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} = k

Tas nozīmē, ka jebkuru atbilstošo malu attiecība ir vienāda ar līdzības koeficientu \(k\).

Divu līdzīgu trijstūru perimetru attiecība ir vienāda ar līdzības koeficientu

\frac{P (ABC)}{P (DEF)} = k

Šo likumu ir viegli pierādīt. Pamēģini to izdarīt, zinot, ka perimetrs ir malu summa un kopīgo reizinātāju \(k\) var iznest pirms iekavām.

Piemērs:

Doti divi regulāri trijstūri \(ABC\) un \(MKD\).

\(P(ABC)=20\) cm, \(P(MKD)=80\) cm. Nosaki šo trijstūru malu attiecību!

Risinājums

Visi vienādmalu trijstūri ir līdzīgi savā starpā pēc 1. pazīmes (ll).

Δ ABC \sim Δ MKD

, tad

\begin{array}{l} k = \frac{P (ABC)}{P (MKD)} = \frac{20}{80} = \frac{1}{4} \\ \frac{AB}{MK} = \frac{1}{4} \\ AB : MK = 1 : 4 \\ MK : AB = 4 : 1 \end{array}

Redzam, ka malu attiecību var pierakstīt dažādi.

Ar vārdiem:

Divu līdzīgu trijstūru laukumu attiecība ir vienāda ar līdzības koeficienta kvadrātu:

\frac{S (ABC)}{S (DEF)} = k^{2}

Piemērs:

Dots četrstūris, kuram divas malas ir paralēlas \((BC||AD).\)

Aprēķini, cik reižu trijstūra \(AOD\) laukums ir lielāks nekā \(C\)\(OB\) laukums, ja \(AD=12\) cm, bet \(BC=4\) cm.

Risinājums

Lai atrisinātu uzdevumu, vispirms ir jāpierāda, ka

Δ AOD \sim Δ COB

\(\)

∢

\(OAD = \)

∢

\(BCO\), jo šķērsleņķi pie paralēlām taisnēm \(AD\) un \(BC.\)

\(\)

∢

\(BOC = \)

∢

\(AOD\) kā krustleņķi.

tātad

Δ AOD \sim Δ COB

pēc līdzības 1. pazīmes (ll).

Ja trijstūri ir līdzīgi, tad atbilstošo malu attiecība ir līdzības koeficients.

k = \frac{AD}{BC} = \frac{12}{4} = 3

\begin{array}{l} \frac{S (AOD)}{S (COB)} = k^{2} \\ \frac{S (AOD)}{S (COB)} = 3^{2} \\ \frac{S (AOD)}{S (COB)} = 9 \\ S (AOD) = 9 \cdot S (COB) \end{array}

Atbilde: Trijstūra \(AOD\) laukums ir \(9\) reizes lielāks nekā \(C\)\(OB\) laukums.

Atradi kļūdu?

1. Līdzīgu trijstūru perimetrs un laukums