VIDEO KURSS MATEMĀTIKĀ 9. KLASEI
Teorēma. Ap riņķa līniju apvilkta četrstūra pretējo malu summas ir vienādas: \(a + c = b + d.\)
Pierādīsim šo terēmu, izmantojot pieskaru nogriežņu vienādību (skat. zīm.).
pieskaru nogr.svg
 
Uzzīmējam ap riņķa līniju apvilktu četrstūri
 YCUZD_221101_4610_Četrstūri_1.svg
  
Dots: \(ABCD\) - ap riņķa līniju apvilkts četrstūris
Jāpierāda: \(AB+CD=AD+BC\)
  
Pierādījums
Pieņemsim, ka \(M, N, K\) un \(T\) ir punkti, kuros četrstūris pieskaras riņķa līnijai. No viena un tā paša punkta novilkto pieskaru nogriežņu garumi ir vienādi, tāpēc atbilstošos pieskaru nogriežņus apzīmēsim ar vienādiem burtiem.
\(MA=AT=t\)
\(MB=BN=m\)
\(NC=CK=n\)
\(KD=DT=k\)
 
Saskaitām pretējās malas, izmantojot pieņemtos apzīmējumus:
\(AB+CD=t+m+n+k\)
\(AD+BC=t+k+m+n\)
 
Redzam, ka \(AB+CD=AD+BC\)
Tas bija jāpierāda.
 
Ne jebkurā četrstūrī var ievilkt riņķa līniju. Tikko pierādītajai teorēmai ir spēkā apgrieztā teorēma.
Apgrieztā teorēma. Ja četrstūra pretējo malu garumu summas ir vienādas, tad četrstūrī var ievilkt riņķa līniju.
Abas teorēmas var uzrakstīt sekojoši:
Riņķa līniju var ievilkt četrstūrī tad un tikai tad, ja tā pretējo malu summas ir vienādas.