Teorēma. Ap riņķa līniju apvilkta četrstūra pretējo malu summas ir vienādas: \(a + c = b + d.\)
Pierādīsim šo terēmu, izmantojot pieskaru nogriežņu vienādību (skat. zīm.).
Uzzīmējam ap riņķa līniju apvilktu četrstūri
Dots: \(ABCD\) - ap riņķa līniju apvilkts četrstūris
Jāpierāda: \(AB+CD=AD+BC\)
Pierādījums
Pieņemsim, ka \(M, N, K\) un \(T\) ir punkti, kuros četrstūris pieskaras riņķa līnijai. No viena un tā paša punkta novilkto pieskaru nogriežņu garumi ir vienādi, tāpēc atbilstošos pieskaru nogriežņus apzīmēsim ar vienādiem burtiem.
\(MA=AT=t\)
\(MB=BN=m\)
\(NC=CK=n\)
\(KD=DT=k\)
Saskaitām pretējās malas, izmantojot pieņemtos apzīmējumus:
\(AB+CD=t+m+n+k\)
\(AD+BC=t+k+m+n\)
Redzam, ka \(AB+CD=AD+BC\)
Tas bija jāpierāda.
Ne jebkurā četrstūrī var ievilkt riņķa līniju. Tikko pierādītajai teorēmai ir spēkā apgrieztā teorēma.
Apgrieztā teorēma. Ja četrstūra pretējo malu garumu summas ir vienādas, tad četrstūrī var ievilkt riņķa līniju.
Abas teorēmas var uzrakstīt sekojoši:
Riņķa līniju var ievilkt četrstūrī tad un tikai tad, ja tā pretējo malu summas ir vienādas.