Kvadrātfunkcija un tās grafika konstruēšana — teorija. Matemātika (Skola2030), 9. klase.

Funkciju, kuras vispārīgais veids ir

y = a x^{2} + bx + c

, kur \(a\), \(b\), \(c\) ir reāli skaitļi un

a \neq 0

, sauc par kvadrātfunkciju.

Kvadrātfunkcijas grafiks ir parabola.

Definīcijas apgabals \(D(f)\) ir visi reālie skaitļi (kādas vērtības var ievietot \(x\) vietā).
Vērtību apgabalu \(E(f)\) nolasa no grafika. Tas ir atkarīgs no parabolas virsotnes \(y\) koordinātas un no zaru vērsuma (kādas vērtības var pieņemt \(y\)).

Koeficients (parametrs) \(a\) nosaka zaru vērsumu:

ja \(a>0\), tad zari ir vērsti uz augšu;
ja \(a<0\), tad zari ir vērsti uz leju.

Koeficients \(c\) norāda, kurā punktā parabola krusto \(Oy\) asi.

Lai konstruētu kvadrātfunkcijas grafiku:

1. Aprēķina parabolas virsotnes koordinātas:

x_{v} = \frac{- b}{2 a}

y_{v}

, kuru iegūst,

x_{v}

ievietojot funkcijā.

2. Atliek virsotni koordinātu plaknē, novelk parabolas simetrijas asi.

3. Nosaka parabolas zaru vērsumu: ja \(a>0\), tad zari ir vērsti uz augšu, ja \(a<0\), tad zari ir vērsti uz leju.

4. Atliek krustpunktu ar \(y\) asi (kur \(x\) ir \(0\) un \(y\) koordināta ir \(c\)).

5. Sastāda vērtību tabulu, izvēloties nepieciešamās argumenta \(x\) vērtības.

Atrisinot kvadrātvienādojumu

a x^{2} + bx + c = 0

, var iegūt krustpunktus ar \(Ox\) asi jeb funkcijas nulles (ja tādas ir).

Ja diskriminants \(D>0\), tad ir divas saknes jeb divi krustpunkti ar \(x\) asi,
ja \(D<0\), tad krustpunktu ar \(x\) asi nav,
ja \(D=0\), tad parabolas virsotne atrodas uz \(x\) ass (parabola pieskaras \(x\) asij).

Taču ne vienmēr šie krustpunkti ar \(Ox\) asi ir racionāli skaitļi. Ja no diskriminanta \(D\) nevar izvilkt precīzu racionālu sakni, tad grafika konstruēšanai saknes nevarēs izmantot.

Piemērs:

1. Konstruē grafiku