Aritmētiskās progresijas vispārīgā locekļa formula — teorija. Matemātika (Skola2030), 9. klase.

ONLINE VIDEO KURSS

"MATEMĀTIKA 9. KLASEI"

Virkni, kurā katru nākamo locekli iegūst, ja iepriekšējam loceklim pieskaita vienu un to pašu skaitli \(d\), sauc par aritmētisko progresiju.

Vispārīgā veidā lieto sekojošu sakarību

a_{n + 1} = a_{n} + d

Skaitli \(d\) sauc par aritmētiskās progresijas diferenci.

Ja ir zināms aritmētiskās progresijas pirmais loceklis

a_{1}

un diference \(d\), tad var aprēķināt jebkuru aritmētiskās progresijas locekli.

Virknes otro locekli iegūst, ja pie pirmā virknes locekļa pieskaita vienu diferenci:

a_{2} = a_{1} + d

Virknes trešo locekli iegūst, ja pirmā virknes locekļa pieskaita divas diferences:

a_{3} = a_{2} + d = (a_{1} + d) + d = a_{1} + 2 d

Virknes ceturto locekli iegūst, ja pie virknes

a_{1}

pieskaita trīs diferences:

a_{4} = a_{3} + d = (a_{1} + 2 d) + d = a_{1} + 3 d

Līdzīgi iegūst pārējos virknes locekļus:

a_{5} = a_{4} + d = (a_{1} + 3 d) + d = a_{1} + 4 d

Līdz ar to ir iegūta likumsakarība aritmētiskās progresijas n - tā locekļa aprēķināšanai:

Aritmētiskās progresijas \(n - to\) locekli iegūst, ja pie pirmā virknes locekļa pieskaita \((n - 1)\) diferenci.

a_{n} = a_{1} + d (n - 1)

, kur \(n\) - virknes locekļa numurs,

a_{1}

- virknes pirmais loceklis, \(d\) - diference.

Šī vienādība ir aritmētiskās progresijas vispārīgā locekļa formula.

Šo vienādību izmanto, lai aprēķinātu jebkuru aritmētiskās progresijas locekli, ja zināms ir tās pirmais loceklis un diference.

Ja diference

d > 0

, tad virkne ir augoša, ja

d < 0

, tad virkne ir negatīva.

Piemērs:

1. Uzraksti aritmētiskās progresijas pirmos četrus locekļus, ja

a_{1}

\( = 12\) un \(d = \)\(4\).

Risinājums

a_{1}

\( = 12\)

\begin{array}{l} a_{2} = a_{1} + d = 12 + 4 = 16 \\ a_{3} = a_{1} + 2 d = 12 + 2 \cdot 4 = 12 + 8 = 20 \\ a_{4} = a_{1} + 3 d = 12 + 3 \cdot 4 = 12 + 12 = 24 \end{array}

Piemērs:

2. Aprēķini aritmētiskās progresijas desmito locekli, ja

a_{1}

\(= -14\) un \(d = \)\(0,5.\)

Risinājums

Tā kā prasīts virknes loceklis ar pietiekami lielu kārtas numuru, tad izdevīgi izmantot vispārīgā locekļa formulu:

\begin{array}{l} a_{n} = a_{1} + d (n - 1) \\ a_{10} = - 14 + 0,5 \cdot (10 - 1) = - 14 + 0,5 \cdot 9 = - 14 + 4,5 = - 9,5 \end{array}

Atradi kļūdu?

ONLINE VIDEO KURSS

"MATEMĀTIKA 9. KLASEI"

1. Aritmētiskās progresijas vispārīgā locekļa formula