Aritmētiskās progresijas vispārīgā locekļa formula — teorija. Matemātika (Skola2030), 9. klase.

Virkni, kurā katru nākamo locekli iegūst, ja iepriekšējam loceklim pieskaita vienu un to pašu skaitli \(d\), sauc par aritmētisko progresiju.

Vispārīgā veidā lieto sekojošu sakarību

a_{n + 1} = a_{n} + d

Skaitli \(d\) sauc par aritmētiskās progresijas diferenci.

Ja ir zināms aritmētiskās progresijas pirmais loceklis

a_{1}

un diference \(d\), tad var aprēķināt jebkuru aritmētiskās progresijas locekli.

Virknes otro locekli iegūst, ja pie pirmā virknes locekļa pieskaita vienu diferenci:

a_{2} = a_{1} + d

Virknes trešo locekli iegūst, ja pirmā virknes locekļa pieskaita divas diferences:

a_{3} = a_{2} + d = (a_{1} + d) + d = a_{1} + 2 d

Virknes ceturto locekli iegūst, ja pie virknes

a_{1}

pieskaita trīs diferences:

a_{4} = a_{3} + d = (a_{1} + 2 d) + d = a_{1} + 3 d

Līdzīgi iegūst pārējos virknes locekļus:

a_{5} = a_{4} + d = (a_{1} + 3 d) + d = a_{1} + 4 d

Līdz ar to ir iegūta likumsakarība aritmētiskās progresijas n - tā locekļa aprēķināšanai:

Aritmētiskās progresijas \(n - to\) locekli iegūst, ja pie pirmā virknes locekļa pieskaita \((n - 1)\) diferenci.

a_{n} = a_{1} + d (n - 1)

, kur \(n\) - virknes locekļa numurs,

a_{1}

- virknes pirmais loceklis, \(d\) - diference.

Šī vienādība ir aritmētiskās progresijas vispārīgā locekļa formula.

Šo vienādību izmanto, lai aprēķinātu jebkuru aritmētiskās progresijas locekli, ja zināms ir tās pirmais loceklis un diference.

Ja diference

d > 0

, tad virkne ir augoša, ja

d < 0

, tad virkne ir negatīva.

Piemērs:

1. Uzraksti aritmētiskās progresijas pirmos četrus locekļus, ja

a_{1}

\( = 12\) un \(d = \)\(4\).

Risinājums

a_{1}

\( = 12\)

\begin{array}{l} a_{2} = a_{1} + d = 12 + 4 = 16 \\ a_{3} = a_{1} + 2 d = 12 + 2 \cdot 4 = 12 + 8 = 20 \\ a_{4} = a_{1} + 3 d = 12 + 3 \cdot 4 = 12 + 12 = 24 \end{array}

Piemērs:

2. Aprēķini aritmētiskās progresijas desmito locekli, ja

a_{1}

\(= -14\) un \(d = \)\(0,5.\)

Risinājums

Tā kā prasīts virknes loceklis ar pietiekami lielu kārtas numuru, tad izdevīgi izmantot vispārīgā locekļa formulu:

\begin{array}{l} a_{n} = a_{1} + d (n - 1) \\ a_{10} = - 14 + 0,5 \cdot (10 - 1) = - 14 + 0,5 \cdot 9 = - 14 + 4,5 = - 9,5 \end{array}

Atradi kļūdu?

1. Aritmētiskās progresijas vispārīgā locekļa formula