Skaitļu virkne un tās definēšanas veidi — teorija. Matemātika (Skola2030), 9. klase.

Virkne ir pēc kādas noteiktas īpašības sakārtots elementu kopums.

Elementi var būt gan skaitļi, gad priekšmeti, gan simboli:

Burtu virkne
Kreļļu virkne
Monētu virkne

Skaitļu virkne ir secīgu skaitļu kopa, kurā visi locekļi tiek veidoti pēc kādas noteiktas likumsakarības.

Skaitļus, kas veido virkni, sauc par virknes locekļiem.

Virknes locekļus apzīmē ar kādu burtu, kuram ir pievienots indekss, kas norāda virknes locekļa kārtas numuru.

Skaitļu virkni pieraksta formā:

a_{1}; a_{2}; a_{3}; a_{4}; ...; a_{n}; a_{n + 1}; a_{n + 2}; ...

Piemērs:

Naturālo skaitļu kvadrātu virkne: $1; 4; 9; 16; 25; 36; ...$

Veselo skaitļu virkne: $...; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ...$

Virknes var būt galīgas vai bezgalīgas.

Ja skaitļu virknē katrs nākamais loceklis ir lielāks nekā iepriekšējais, tad virkni sauc par augošu, bet, ja katrs nākamais loceklis ir mazāks nekā iepriekšējais - tad par dilstošu. Ja virknē visi locekļi ir vienādi, tad to sauc par konstantu virkni.

Virkne var būt arī ne augoša un ne dilstoša.

Piemērs:

1) Divciparu naturālo skaitļu virkne ir galīga un augoša: $10; 11; 12; 13; ... 98; 99.$

2) Visu veselo skaitļu virkne $...; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ...$ ir bezgalīga un augoša.

3) Virkne $2; 2; 2; 2; ...$ ir konstanta virkne.

4) Virkne $0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; ...$ ir bezgalīga un dilstoša.

5) Virkne $-4; 4; -5; 5; -6; 6; -7; 7; ...$ ir bezgalīga un nav ne augoša, ne dilstoša.

Skaitļu virknes uzdošanas veidi

1. Ar vārdiem

Piemēram, skaitļu virknes katru nākamo locekli iegūst, ja naturālu skaitli, sākot no mazākā, kāpina kvadrātā.

2. Ar vispārīgā locekļa formulu

Piemēram, dota skaitļu virkne, kuras katru nākamo locekli aprēķina pēc formulas

a_{n} = 2 + n

, kur

n \in ℕ

3. Grafiski

4. Tabulas veidā

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
$a_{n}$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$

5. Ar rekurences formulu

Piemēram,

x_{n + 1} = 2 \cdot x_{n}, kur x_{1} = 1

Ievēro, ka uzdodot virkni ar rekurences formulu, ir dots pirmais virknes loceklis, jo to izmanto, lai iegūtu nākošos virknes locekļus.

Par rekurences formulu sauc formulu, pēc kuras katru nākamo locekli nosaka, izmantojot vienu vai vairākus iepriekšējos locekļus.

Piemērs:

Virkne ir definēta ar formulu

a_{n} = 2 \cdot n - 2

Aprēķini virknes pirmos četrus locekļus! Iegūtās virknes locekļus attēlo grafiski:

Risinājums

Lai iegūtu virknes locekļus, $n$ vietā ievieto naturālus skaitļus, sākot no $n=1$.

\begin{array}{l} a_{1} = 2 \cdot 1 - 2 = 2 - 2 = 0 \\ a_{2} = 2 \cdot 2 - 2 = 4 - 2 = 2 \\ a_{3} = 2 \cdot 3 - 2 = 6 - 2 = 4 \\ a_{4} = 2 \cdot 4 - 2 = 8 - 2 = 6 \end{array}

Iegūtās virknes locekļus attēlo grafiski, uz abscisu ass atliekot kārtas numuru $n$ un uz ordinātu ass atliekot virknes locekļus

(a_{n})

Piemērs:

Virkne ir definēta ar formulu

c_{n} = \frac{6 - n}{2}

Aprēķini virknes desmito locekli!

Risinājums

Mainīgā $n$ vietā ievieto skaitli $10:$

c_{10} = \frac{6 - 10}{2} = \frac{- 4}{2} = - 2

Piemērs:

Aprēķini virknes pirmos piecus locekļus, ja dota tās rekurences formula:

x_{n + 1} = x_{n} + 2, kur x_{1} = - 5

Risinājums

Pirmais virknes loceklis ir dots.

Pēc formulas var secināt, ka katru nākamo virknes locekli iegūst, ja iepriekšējam pieskaita skaitli $2$.

\begin{array}{l} x_{1} = - 5 \\ x_{2} = - 5 + 2 = \underline{- 3} \\ x_{3} = \underline{- 3} + 2 = - 1 \\ x_{4} = - 1 + 2 = 1 \\ x_{5} = 1 + 2 = 3 \end{array}

Iepriekšējā tēma

Atgriezties tēmā

Nākamais uzdevums

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

\(n\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)
$a_{n}$	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)

1. Skaitļu virkne un tās definēšanas veidi

Teorija