Taisnas prizmas virsma — teorija. Matemātika (Skola2030), 9. klase.

Taisna prizma ir daudzskaldnis, kura divas skaldnes ir paralēli daudzstūri (tos sauc par pamatiem), bet pārējās skaldnes ir taisnstūri (sānu skaldnes).

1. zīm.

1. zīmējumā ir redzama taisna prizma, kuras pamatā ir trapece.

\(ABCD\) un \(EFGH\) ir prizmas pamati;

\(AEHD; DHGC, CGFB\) un \(AEFB\) ir prizmas sānu virsma, kas veidojas no četriem taisnstūriem.

2. zīmējumā ir attēlots taisnas prizmas izklājums, kuras pamatā ir trapece

2. zīm.

Prizmas virsmas laukums ir visu skaldņu laukumu summa. To sauc arī par pilnas virsmas laukumu.

Pilnas virsmas laukumu var rēķināt no izklājuma - aprēķina laukumu katram daudzstūrim un visus laukumus saskaita.

Prizmas laukumu var rēķināt ar formulām.

Prizmas sānu virsmas laukuma formula ir eksāmena formulu lapā:

S = P \cdot H

, kur \(P\) – pamata perimetrs, \(H\) – prizmas augstums.

Lai vieglāk saprast, var rakstīt:

S_{sānu} = P_{pam .} \cdot H

Lai aprēķinātu prizmas pilnas virsmas laukumu, sānu virsmai jāpieskata abu pamatu laukumi.

S_{virsmai} = P_{pam .} \cdot H + 2 \cdot S_{pam .}

Ja prizmas pamatā ir trapece, tad prizmas virsmas laukumu aprēķina:

\begin{array}{l} S_{prizma} = P_{trapecei} \cdot H + 2 \cdot S_{trapecei} \\ S_{trapecei} = \frac{a + b}{2} \cdot h, \end{array}

kur \(a\) un \(b\) ir trapeces pamati, \(h\) - trapeces augstums;

\(P\) - trapeces perimetrs, \(H\) - prizmas augstums.

Piemērs:

Aprēķini taisnas prizmas virsmas laukumu, ja prizmas pamatā ir trapece, kuras pamatu garumi ir \(6\) \(cm\) un \(10\) \(cm\), sānu malu garumi ir \(5\) \(cm\) un \(7\) \(cm\). Trapeces augstums ir \(4\) \(cm\), bet prizmas augstums ir \(18\) \(cm\).

Lai noteiktu virsmas laukumu ar formulām, nav nepieciešams veidot zīmējumu.

1. Aprēķina pamata (trapeces) perimetru

\begin{array}{l} P_{trapecei} = a + b + c + d \\ P_{trapecei} = 6 + 10 + 5 + 7 = 28 (cm) \end{array}

2. Aprēķina prizmas sānu virsmas laukumu

\begin{array}{l} S_{sānu} = P_{trapecei} \cdot H \\ S_{sānu} = 28 \cdot 18 = 504 ({cm}^{2}) \end{array}

3. Aprēķina trapeces laukumu

\begin{array}{l} S_{trapecei} = \frac{a + b}{2} \cdot h \\ S_{trapecei} = \frac{6 + 10}{2} \cdot 4 \\ S_{trapecei} = 8 \cdot 4 = 32 ({cm}^{2}) \end{array}

4. Aprēķina prizmas virsmas laukumu

\begin{array}{l} S_{prizma} = S_{sānu} + 2 \cdot S_{trapece} \\ S_{prizma} = 504 + 2 \cdot 32 \\ S_{prizma} = 504 + 64 = 568 ({cm}^{2}) \end{array}

Atbilde: Prizmas pilnas virsmas laukums ir \(568\)

{cm}^{2}

Piemērs:

Taisnas prizmas pamatā ir vienādsānu trapece. Prizmas pilnas virsmas laukums ir \(120\)

{cm}^{2}

, bet sānu virsmas laukums ir \(80\)

{cm}^{2}

Aprēķini prizmas viena pamata laukumu!

Lai atrisinātu uzdevumu, nav nepieciešams zīmējums. Prizmas pilnas virsmas laukumu var aprēķināt pēc formulas

\begin{array}{l} S_{pilna} = 2 \cdot S_{pamats} + S_{sānu} \\ 2 \cdot S_{pamats} = S_{pilna} - S_{sānu} \end{array}

Dotos lielumus ievieto formulā un aprēķina trapeces pamata laukumu

\begin{array}{l} 120 = 2 \cdot S_{tr .} + 80 \\ 2 \cdot S_{tr .} = 120 - 80 \\ 2 \cdot S_{tr .} = 40 |: 2 \\ S_{tr .} = 20 {cm}^{2} \end{array}

Atbilde: Prizmas viena pamata laukums ir \(20\)

{cm}^{2}

Piemērs:

Anna plānoja izveidot dāvanu kastīti zīmējumā redzamajā formā no vienas A4 formāta kartona lapas. Kastītei divi sāni ir paralēli, divi - nē.

Aprēķini, cik daudz kartona nepieciešams dāvanu kastītes veidošanai! Vai Annai pietiks materiāla?

1. Vispirms aprēķina laukumu prizmas pamatam - trapecei. Aprēķināsim trapeces augstumu.

\begin{array}{l} AE = (AD - BC) : 2 \\ AE = (11 - 5) : 2 = 3 cm \end{array}

Aprēķina taisnleņķa trijstūra \(ABE\) kateti \(AE\) ar Pitagora teorēmu:

\begin{array}{l} {AB}^{2} = {AE}^{2} + {BE}^{2} \\ {{BE}^{2} = AB}^{2} {- AE}^{2} \\ {BE}^{2} = 5^{2} - 3^{2} \\ {BE}^{2} = 25 - 9 \\ {BE}^{2} = 16 \\ BE = 4 \\ h = 4 cm \end{array}

\begin{array}{l} S_{trapecei} = \frac{a + b}{2} \cdot h \\ S_{trapecei} = \frac{11 + 5}{2} \cdot 4 \\ S_{trapecei} = 8 \cdot 4 = 32 ({cm}^{2}) \end{array}

2. Aprēķina kastītes sānu virsmas laukumu

\begin{array}{l} S_{sānu} = P_{trapecei} \cdot H \\ P_{trapecei} = 3 \cdot 5 + 11 = 26 cm \\ S_{sānu} = 26 \cdot 20 = 520 ({cm}^{2}) \end{array}

3. Aprēķina kastītes izgatavošanai nepieciešamā materiāla daudzumu

\begin{array}{l} S_{kastītei} = 2 \cdot S_{trapecei} + S_{sānu} \\ S_{k .} = 2 \cdot 32 + 520 \\ S_{k .} = 64 + 520 = 584 ({cm}^{2}) \end{array}

4. Aprēķina A4 formāta kartona lapas laukumu, ja tās malu garumi ir \(21\) \(cm\) un \(29,5\) \(cm\)

\begin{array}{l} S_{A 4} = a \cdot b \\ S_{A 4} = 21 \cdot 29,5 = 619,5 ({cm}^{2}) \end{array}

5. Annai pietiks ar vienu A4 kartona lapu, jo

\begin{array}{l} S_{kastītei} < S_{A 4} \\ 584 {cm}^{2} < 619,5 {cm}^{2} \end{array}

Atbilde: Kastītes izgatavošanai nepieciešams \(584\)

{cm}^{2}

kartona. Ar vienu A4 formāta kartona lapu pietiks.

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

2. Taisnas prizmas virsma

Teorija