Kvadrātvienādojuma atrisināšana — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika I.

Vienādojumu

a x^{2} + bx + c = 0

, kur

a

b

c

- reāli skaitļi,

a \neq 0

, sauc par kvadrātvienādojumu.

Atrisini kvadrātvienādojumu!

\begin{array}{l} 4 x^{2} - 3 x + 1 = 0 \\ a = 4 \\ b = - 3 \\ c = 1 \end{array}

Kvadrātvienādojuma saknes var atrast pēc formulām:

\begin{array}{l} x_{1} = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a} \\ x_{2} = \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} \end{array}

kur

D = b^{2} - 4 ac

D

 sauc par diskriminantu.

Pēc diskriminanta vērtības var noteikt kvadrātvienādojuma sakņu skaitu.

Ja $D < 0$ (negatīvs), tad vienādojumam nav atrisinājuma reālo skaitļu kopā
Ja $D = 0$ , tad vienādojumam ir divas vienādas saknes
Ja $D > 0$ (pozitīvs), tad vienādojumam ir divas dažādas saknes.

Kvadrātvienādojumu

x^{2} + bx + c = 0

var risināt arī pēc Vjeta teorēmas:

$\{\begin{cases} x_{1} \cdot x_{2} = c \\ x_{1} + x_{2} = - b \end{cases}$

Ievēro: koeficients pie

x^{2}

a = 1

(Atrisināšanas piemērus skat. pie uzdevumiem.)

Nepilnie kvadrātvienādojumi

Ir divu veidu nepilnie kvadrātvienādojumi:

c = 0

, tad vienādojums ir

a x^{2} + bx = 0

b = 0

, tad

a x^{2} + c = 0

Nepilnos kvadrātvienādojumus drīkst risināt ar diskriminanta formulām, bet racionālāk būs izvēlēties speciālas metodes:

a x^{2} + bx = 0

risina, sadalot reizinātājos (iznesot pirms iekavām

x

$x(ax+b)=0$

Tātad

x = 0

vai

ax + b = 0

. (Jo divu skaitļu reizinājums ir nulle tad un tikai tad, ja vismaz viens no šiem skaitļiem ir $0$.)

Viena sakne ir $0$, bet otra sakne ir

x = \frac{- b}{a}

Piemērs:

\begin{array}{l} 2 x^{2} - 30 x = 0 \\ x (2 x - 30) = 0 \\ 1) x = 0 \\ 2) 2 x - 30 = 0 \Leftrightarrow 2 x = 30 \Leftrightarrow x = 15 \end{array}

Atbilde:

x_{1} = 0

x_{2} = 15

a x^{2} + c = 0

risina, pārnesot saskaitāmos dažādās pusēs un tad velkot kvadrātsakni.

a x^{2} = - c

(izdala abas puses ar

a

)

x^{2} = - \frac{c}{a}

|x| = \sqrt{\frac{- c}{a}}

(Ievēro: velkot sakni, iegūst

x

moduļa vērtību!)

Tas nozīmē, ka

\begin{array}{l} x_{1} = \sqrt{\frac{- c}{a}} \\ x_{2} = - \sqrt{\frac{- c}{a}} \end{array}

Piemērs:

\begin{array}{l} 4 x^{2} - 100 = 0 \\ 4 x^{2} = 100 | : 4 \\ x^{2} = 25 \\ |x| = \sqrt{25} \\ x_{1} = 5; x_{2} = 5 \end{array}

Atbilde:

x_{1} = 5

;

x_{2} = - 5

Piemērs:

\begin{array}{l} x^{2} + 36 = 0 \\ x^{2} = - 36 \end{array}

Šim vienādojumam nav atrisinājuma, jo kvadrātsakni nedrīkst vilkt no negatīva skaitļa (zinām arī, ka skaitli kāpinot kvadrātā, nevar iegūt negatīvu skaitli).

Atbilde: sakņu nav.

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

4. Kvadrātvienādojuma atrisināšana

Teorija