Darbības ar pakāpēm, pamatlikumi — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika I.

Par reāla skaitļa

a

pakāpi ar naturālu kāpinātāju

n

sauc reizinājumu, kurā skaitlis

a

ņemts

n

reizes.

\begin{array}{l} a^{n} = \underset{⏟}{a \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a} a^{1} = a, a^{0} = 1 (ja a \neq 0) \\ n reizes \end{array}

Piemērs:

\begin{array}{l} 4^{3} = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64 \\ {(- 3)}^{4} = (- 3) (- 3) (- 3) (- 3) = 81 \end{array}

\begin{array}{l} bāze \to & \begin{array}{l} kāpinātājs \\ 2^{\begin{array}{l} ↓ \\ 3 \end{array}} = 8 \\ \begin{array}{l} ↖ ↗ \\ pakāpe \end{array} \end{array} \end{array}

Ja negatīva skaitļa kāpinātājs ir pāra skaitlis, tad skaitļa pakāpe ir pozitīvs skaitlis.

Ja negatīva skaitļa kāpinātājs ir nepāra skaitlis, tad pakāpe ir negatīvs skaitlis.

Piemērs:

{(- 2)}^{4} = 16; {(- 2)}^{3} = - 8

Pieņemts, ka jebkurš skaitlis, izņemot \(0\), nultajā pakāpē ir vienāds ar \(1\).

a^{0} = 1 (a \neq 0)

Ja kāpinātājs ir vesels negatīvs skaitlis, tad

a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}

Piemērs:

Pārveido par pakāpi!

\begin{array}{l} \frac{1}{8} = \frac{1}{2^{3}} = 2^{- 3} \\ \frac{1}{2 x^{- 4}} = \frac{x^{4}}{2} \end{array}

a > 0

m

n

ir naturāli skaitļi, tad

a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}

Pakāpe ar daļveida kāpinātāju ir vienāda ar sakni, kuras rādītājs ir kāpinātāja saucējs, bet zemsaknes izteiksme ir pakāpes bāze, kāpināta ar daļas skaitītāju.

Piemērs:

Pārveido par pakāpi!

\begin{array}{l} \sqrt[3]{x^{5}} = x^{\frac{5}{3}} \\ \sqrt{2} \cdot 2^{3} = 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{3} = 2^{3 \frac{1}{2}} \end{array}

\begin{array}{l} 27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3 \\ 81^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{81^{3}} = {(\sqrt[4]{81})}^{3} = 3^{3} = 27 \end{array}

Kāpināšanas īpašības:

Pakāpju reizināšana vai dalīšana, ja bāzes ir vienādas:

\begin{array}{l} a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n} \\ a^{m} : a^{n} = a^{m - n} \end{array}

Piemērs:

Vienkāršo!

\begin{array}{l} x^{3} \cdot x^{6} = x^{3 + 6} = x^{9} \\ \frac{3^{8}}{3^{6}} = 3^{8} : 3^{6} = 3^{8 - 6} = 3^{2} = 9 \end{array}

Reizinājuma vai dalījuma kāpināšana (bāzes ir dažādas):

\begin{array}{l} a^{m} \cdot b^{m} = {(ab)}^{m} \\ \frac{a^{n}}{b^{n}} = {(\frac{a}{b})}^{n} \end{array}

Piemērs:

Aprēķini vērtību!

\begin{array}{l} 2^{3} \cdot 5^{3} = 10^{3} = 1000 \\ \frac{8^{6}}{4^{6}} = {(\frac{8}{4})}^{6} = 2^{6} = 64 \end{array}

Pakāpes kāpināšana:

{(a^{m})}^{n} = a^{mn}

Piemērs:

Vienkāršo!

{(y^{3})}^{4} = y^{3 \cdot 4} = y^{12}

Dalījuma pakāpe ar negatīvu kāpinātāju:

{(\frac{a}{b})}^{- n} = {(\frac{b}{a})}^{n}

Piemērs:

Aprēķini vērtību!

{(\frac{2}{3})}^{- 3} = {(\frac{3}{2})}^{3} = \frac{3^{3}}{2^{3}} = \frac{27}{8}

Skat. Formulas optimālā līmeņa matemātikas valsts pārbaudes darbam.

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamais uzdevums

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

2. Darbības ar pakāpēm, pamatlikumi

Teorija