Variācijas — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika I.

ONLINE VIDEO KURSS

"MATEMĀTIKA I"

Par variāciju no \(n\) elementiem pa \(m\) elementiem (

m \leq n

) sauc sakārtotu dotās \(n\) elementu kopas \(m\) elementu izlasi. Katras divas variācijas savstarpēji atšķiras vai nu ar pašiem elementiem, vai to secību.

Variāciju skaitu no \(n\) elementiem pa \(m\) elementiem apzīmē ar

A_{n}^{m}

(lasa: variācijas no \(n\) elementiem pa \(m\) elementiem).

m parāda variācijas elementu skaitu (cik elementus izvēlas)

n parāda dotās kopas elementu skaitu

Variācijas aprēķina pēc formulas

A_{n}^{m} = \frac{n!}{(n - m)!}

Piemērs:

Cik divciparu skaitļus var izveidot no cipariem \(2\); \(3\); \(4\); \(5\); \(6\) (ja cipari neatkārtojas)?

Risinājums:

Izvēlas \(2\) elementus no \(5\) elementu kopas.

Šajā gadījumā \(n = 5\) (jo dotā kopa ar pieciem cipariem), bet \(m = 2\) (jo jāizvēlas izlase ar diviem cipariem).

Jāaprēķina

A_{5}^{2}

Pēc formulas:

A_{5}^{2} = \frac{5!}{(5 - 2)!} = \frac{5!}{3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3!} = 20

Atbilde: no dotajiem cipariem var izveidot \(20\) divciparu skaitļus ar dažādiem cipariem.

Piemērs:

Doti trīs dažādu krāsu elementi:

. Cik veidos var izvēlēties divus no tiem, ja ir svarīga to kārtība?

Risinājums:

Šo uzdevumu ir iespējams atrisināt divējādi: ar pilno pārlasi vai ievietojot dotos lielumus variāciju formulā.

Kā redzams pēc grafiskā attēlojuma, tad divus no dotajiem elementiem var izvēlēties \(6\) dažādos veidos.

Ievietojot dotos elementus formulā (\(n = 3\) un \(m= 2\)), iegūst tādu pašu rezultātu.

A_{3}^{2} = \frac{3!}{(3 - 2)!} = \frac{3!}{1!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{1} = \frac{6}{1} = 6

Piemērs:

Pie galda palikušas \(6\) brīvas vietas. Cik veidos šajās vietās var apsēsties \(4\) cilvēki?

Risinājums:

Pamatkopu veido \(6\) brīvas vietas, tātad \(n = 6\), un izlasi veido \(4\) cilvēki, tātad \(m = 4\). Tā kā ir svarīgi gan tas, kādā kārtībā šie \(4\) cilvēki apsēžas, izlašu skaits ir vienāds ar variāciju skaitu no \(6\) elementiem pa \(4\) elementiem, t. i.,