Modulis vienādojumā ar x un y — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Vispirms atcerēsimies moduļa definīciju.

Pozitīvu skaitļu un nulles modulis ir vienāds ar pašu skaitli, bet negatīva skaitļa modulis ir vienāds ar skaitlim pretējo skaitli.

|x| = \{\begin{cases} x, ja x \geq 0 \\ - x, ja x < 0 \end{cases}

Aplūkosim funkcijas $y=|x|$ grafiku

Redzam, ka funkcijas $y=x$ tā grafika daļa, kurām funkcijas vērtības ir negatīvas $(y<0)$ attēlota simetriski pret asi. Ievēro, ka moduļa vērtības nevar būt negatīvas.

Ja vēlamies atrisināt vienādojumu ar diviem nezināmiem $y=|x|$, šī vienādojuma saknes ir visu to punktu kopa, kas pieder $y=|x|$ grafikam.

Atrisināsim vienādojumus ar diviem nezināmiem, kuri nav funkcijas, tā iemesla dēļ, ka vienai argumenta vērtībai atbilst vairāk nekā viena funkcijas vērtība. Tomēr mēs varam šī līnijas attēlot koordinātu plaknē, parādot to ģeometrisko vietu.

Nosaki to punktu ģeometrisko vietu, kas uzdota ar sakarību

|x| - |y| = 5

Uzdevumu var risināt dažādi. Mēs izmantosim moduļa definīciju:

|x| = \{\begin{cases} x, ja x \geq 0 \\ - x, ja x < 0 \end{cases}

|y| = \{\begin{cases} y, ja y \geq 0 \\ - y, ja y < 0 \end{cases}

II kvadrants $x<0, y$ $\geq$ $0$, tātad $\|x\|=-x$ un $\|y\|=y$ $-x-y=5$ $-y=5+x$ $y=-x-5$	I kvadrants $x$ $\geq$ $0, y$ $\geq$ $0$, tātad $\|x\|=x$ un $\|y\|=y$ $x-y=5$ $-y=5-x$ $y=x-5$
III kvadrants $x<0, y<0$, tātad $\|x\|=-x$ un $\|y\|=-y$ $-x+y=5$ $y=x+5$	IV kvadrants $x$ $\geq$ $0, y<0$, tātad $\|x\|=x$ un $\|y\|=-y$ $x+y=5$ $y=-x+5$

Tā kā koordinātu plaknē katrā no kvadrantiem atšķiras $x$ un $y$ zīmes, tad risinājumu noformējam tabulā, kurā katrs tabulas lodziņā atbilst koordinātu plaknes kvadrantam.

Uzzīmējam katrā no kvadrantiem atbilstošo sakarības grafiku.

Ievērojam to, ka ja

|x| - |y| = 5

, tad arguments $x$ pēc moduļa nevar būt mazāks par $5$, jo tad nav iespējams atrast tādu y vērtību, lai starpība būtu skaitlis $5$.

Aplūkosim piemēru, kurā moduļi ir saskaitīti.

Attēlo koordinātu plaknē vienādojuma ar diviem mainīgajiem visu atrisinājumu kopu

|x| + |y| = 5

Rīkojas līdzīgi.

II kvadrants $-x+y=5$ $y=x+5$	I kvadrants $x+y=5$ $y=-x+5$
III kvadrants $-x+(-y)=5$ $-y=5+x$ $y=-x-5$	IV kvadrants $x+(-y)=5$ $-y=-x+5$ $y=x-5$

Redzam, ka ne $x$, ne $y$ pēc moduļa nevar būt lielāki par $5$, jo tad summa pārsniegs skaitli $5$.

Piemērs:

Attēlo koordinātu plaknē vienādojuma ar diviem mainīgajiem visu atrisinājumu kopu

x^{2} - y^{2} = 0

Uzdevumu var risināt, izmantojot moduļa definīciju:

x^{2} - y^{2} = 0

, tad

\begin{array}{l} x^{2} = y^{2} \\ |x| = |y| \end{array}

Risinājums analoģisks iepriekšējam uzdevumam.

Var izmantot kvadrātu starpības formulu

\begin{array}{l} x^{2} - y^{2} = 0 \\ (x - y) (x + y) = 0 \\ x - y = 0 vai x + y = 0 \\ y = x vai y = - x \end{array}

Interesanti, ka vienādojumā

x^{2} - y^{2} = 0

nomainot zīmi no mīnus uz plus:

x^{2} + y^{2} = 0

, iegūst riņķa līnijas vienādojumu, kuras centrs ir koordinātu sākumpunktā un rādiuss $R=0$, tātad šī vienādojuma atrisinājums ir viens punkts $(0;0).$

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

SKOLA2030 kursu materiāli

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamais uzdevums

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

II kvadrants \(x<0, y\) $\geq$ \(0\), tātad \(\|x\|=-x\) un \(\|y\|=y\) \(-x-y=5\) \(-y=5+x\) \(y=-x-5\)	I kvadrants \(x\) $\geq$ \(0, y\) $\geq$ \(0\), tātad \(\|x\|=x\) un \(\|y\|=y\) \(x-y=5\) \(-y=5-x\) \(y=x-5\)
III kvadrants \(x<0, y<0\), tātad \(\|x\|=-x\) un \(\|y\|=-y\) \(-x+y=5\) \(y=x+5\)	IV kvadrants \(x\) $\geq$ \(0, y<0\), tātad \(\|x\|=x\) un \(\|y\|=-y\) \(x+y=5\) \(y=-x+5\)

II kvadrants \(-x+y=5\) \(y=x+5\)	I kvadrants \(x+y=5\) \(y=-x+5\)
III kvadrants \(-x+(-y)=5\) \(-y=5+x\) \(y=-x-5\)	IV kvadrants \(x+(-y)=5\) \(-y=-x+5\) \(y=x-5\)

6. Modulis vienādojumā ar x un y

Teorija