Leņķis starp vektoriem — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Par leņķi starp diviem nenulles vektoriem

\vec{a}

\vec{b}

sauc šo virzienu veidoto leņķi.

∢ (\vec{a}, \vec{b}) = α

, kur

α \in [0 °; 180 °]

Ja doti divi vektori un leņķis starp tiem, tad šo vektoru skalāro reizinājumu var aprēķināt:

\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos α

Izsaka leņķa starp vektoriem kosinusu.

\cos α = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}

Kosinuss leņķim starp diviem vektoriem ir vienāds ar šo vektoru skalārā reizinājuma dalījumu ar šo vektoru garumu reizinājumu.

Vektoru

\vec{a} = (x_{1}; y_{1}; z_{1})

\vec{b} = (x_{2}; y_{2}; z_{2})

skalāro reizinājumu koordinātās var aprēķināt pēc formulas:

\vec{a} \cdot \vec{b} = x_{1} \cdot x_{2} + y_{1} \cdot y_{2} + z_{1} \cdot z_{2}

Ir zināms, ka vektora garumu aprēķina:

|\vec{a}| = \sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + z_{1}^{2}}

|\vec{b}| = \sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2} + z_{2}^{2}}

Ievietojot izteiksmes ar koordinātām formulā, iegūst sakarību:

\cos α = \frac{x_{1} \cdot x_{2} + y_{1} \cdot y_{2} + z_{1} \cdot z_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + z_{1}^{2}} \cdot \sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2} + z_{2}^{2}}}

Ja vektorus aplūko plaknē, tad leņķa starp vektoriem kosinusu aprēķina:

\cos α = \frac{x_{1} \cdot x_{2} + y_{1} \cdot y_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}} \cdot \sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}}

Piemērs:

Aprēķini leņķi starp vektoriem

\vec{a} = (3; 3), \vec{b} = (- 4; 0)

Risinājums

\begin{array}{l} \cos α = \frac{x_{1} \cdot x_{2} + y_{1} \cdot y_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}} \cdot \sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}} \\ \cos α = \frac{3 \cdot (- 4) + 3 \cdot 0}{\sqrt{3^{2} + 3^{2}} \cdot \sqrt{4^{2} + 0^{2}}} = \\ \cos α = \frac{- 12}{\sqrt{2 \cdot 9} \cdot \sqrt{4^{2}}} = \\ \cos α = \frac{- 12}{3 \sqrt{2} \cdot 4} = \frac{- 1}{\sqrt{2}} = - \frac{\sqrt{2}}{2} \\ α = 135 ° \end{array}

Atbilde: Leņķis starp vektoriem ir \(135\)°.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Atradi kļūdu?

5. Leņķis starp vektoriem