5. Atvasinājuma ģeometriskā interpretācija

Caur līnijas punktiem $M_0$ un \(M\) novilksim taisni $M_{0}M$. Šo taisni sauc par sekantipieskari.

Pieņemsim, ka punkts \(M\)  pārvietojas pa līniju, tuvojoties punktam $M_0$, kurš ir nekustīgs. Tādā gadījumā, punktam \(M\), nonākot punktā $M_0$, sekante $M_{0}M$ kļūst par $\mathit{ML}$ - funkcijas pieskarisekanti punktā $M_0$.

Apskatīsim taisnleņķa trijstūri $M_0\mathit{MN}$.

Šajā trijstūrī leņķis ${\mathit{MM}}_{0}N$ = $\mathrm{\beta }$, piekatetepretkatetehipotenūza $M_{0}N$ = $\mathrm{\Delta }$\(x\), pretkatetepiekatetehipotenūza\(MN\) = $\mathrm{\Delta }$\(y\).

No sakarībām taisnleņķa trijstūrī seko, ka $\mathit{tg}\mathrm{\beta }=\frac{\mathit{MN}}{M_{0}N}=\frac{\mathrm{\Delta }i}{\mathrm{\Delta }i}$.

Ja $\mathrm{\Delta }x\to 0$, tad $M\to M_0$, $\mathrm{\beta }\to \mathrm{\alpha },\mathit{tg}\mathrm{\beta }\to \mathit{tg}\mathrm{\alpha }$. Tātad $\mathit{tg}\mathrm{\alpha }=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\mathit{lim}}\mathit{tg}\mathrm{\beta }=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\mathit{lim}}\frac{\mathrm{\Delta }i}{\mathrm{\Delta }i}=f^{\prime }\left(x_0\right)$

Tātad $f^{\prime }\left(x_0\right)=i=i\mathrm{\alpha }$.