Krišanas momentānais ātrums — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Kā zināms, funkcijas \(y=f(x)\) atvasinājums punktā \(x_0\) ir skaitlis

f^{'} (x_{0})

, kas raksturo funkcijas izmaiņas ātrumu punktā \(x_0\). Aplūkosim atvasinājuma fizikālo nozīmi, kad funkcija apraksta kādu konkrētu procesu.

Krišanas momentānais ātrums

No fizikas zināms, ka ķermenim brīvi krītot, veikto ceļu \(h\) atkarībā no krišanas laika \(t\) atrod pēc formulas

h = \frac{g t^{2}}{2}

, kur \(g\) ir gravitācijas paātrinājums.

Šī formula ir analītiska izteiksme funkcijai, kuras arguments ir laiks, bet funkcijas vērtība ir krītot veiktais ceļš.

Krišanas vidējais ātrums laika intervālā

[t_{0}; t_{0} + Δ t]

ir attiecība

\frac{Δ h}{Δ t}

, kur

Δ h

ir ķermeņa noietais ceļš (pārvietojums) laika intervālā

Δ t

. (Atceries,

v = \frac{s}{t}

Aprēķinām pārvietojuma pieaugumu

Δ h

laika intervālā:

\begin{array}{l} Δ h = \frac{g {(t_{0} + Δ t)}^{2}}{2} - \frac{g \cdot t_{0}^{2}}{2} = \\ = \frac{g}{2} ({(t_{0} + Δ t)}^{2} - t_{0}^{2}) = \\ = \frac{g}{2} (t_{0}^{2} + 2 t_{0} Δ t + {Δ t}^{2} - t_{0}^{2}) = \\ = \frac{g}{2} (2 t_{0} Δ t + {Δ t}^{2}) \end{array}

Aprēķinām krišanas vidējo ātrumu:

v_{vid} = \frac{Δ h}{Δ t} = \frac{\frac{g}{2} (2 t_{0} Δ t + {Δ t}^{2})}{Δ t} = \frac{\frac{g}{2} \cdot Δ t (2 t_{0} + Δ t)}{Δ t} = \frac{g}{2} (2 t_{0} + Δ t)

Krišanas momentāno ātrumu laika momentā \(t_0\) definē kā vidējā ātruma robežu, kad

Δ t \to 0

v = \lim_{Δ t \to 0} v_{vid} = \lim_{Δ t \to 0} \frac{g}{2} (2 t_{0} + Δ t) = \frac{g}{2} \cdot 2 t_{0} = g t_{0}

Krišanas momentānais ātrums

v = gt

ir funkcijas

h = \frac{g t^{2}}{2}

atvasinājums:

{(\frac{g t^{2}}{2})}^{'} = gt

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Dainis Kriķis. Kārlis Šteiners. Matemātiskās analīzes elementi vidusskolai. 1. daļa. izm. 96.lpp.-97. lpp.

Atradi kļūdu?

9. Krišanas momentānais ātrums