Funkcijas pārtraukuma punkti, to veidi — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Ja neizpildās vismaz viens no funkcijas nepārtrauktības nosacījumiem a) vai b), tad funkcija ir pārtraukta punktā \(x_0\) un šādus punktus sauc par funkcijas pārtraukuma punktiem.

Atceries!

a) Funkciju \(y=f(x)\) sauc par nepārtrauktu punktā \(x_0\), ja bezgalīgi mazam argumenta pieaugumam atbilst bezgalīgi mazs funkcijas pieaugums, t.i., ja

\lim_{Δ x \to 0} Δ f (x_{0}) = 0

b) Funkciju \(y=f(x)\) sauc par nepārtrauktu punktā \(x_0\), ja ir spēkā vienādība

\lim_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0})

Punktu \(x_0\) sauc par funkcijas \(y=f(x\)) pārtraukuma punktu, ja izpildās vismaz viens no šādiem nosacījumiem:

1) funkcija nav definēta punktā \(x_0\);

2) funkcijai punktā \(x_0\) ir definēta, bet vienpusējās robežas nav vienādas:

\lim_{x \to x_{0} + 0} f (x) \neq \lim_{x \to x_{0} - 0} f (x)

;

3) funkcijai eksistē robeža, kad

x \to x_{0}

, taču tā nav vienāda ar funkcijas vērtību punktā \(x_0\).

\lim_{x \to x_{0}} f (x) \neq f (x_{0})

jeb

\lim_{x \to x_{0} + 0} f (x) = \lim_{x \to x_{0} - 0} f (x) \neq f (x_{0})

Pārtraukuma punktu \(x_0\) sauc par pirmā veida pārtraukuma punktu, ja šajā punktā eksistē abas vienpusējās robežas un tās ir galīgas.

Pirmā veida pārtraukuma punktu \(x_0\) sauc par novēršamu, ja abas vienpusējās robežas ir galīgas un vienādas:

\lim_{x \to x_{0} + 0} f (x) = \lim_{x \to x_{0} - 0} f (x)

Pārtraukuma punktu \(x_0\) sauc par otrā veida pārtraukuma punktu, ja vismaz viena no vienpusējām robežām, kad

x \to x_{0}

, neeksistē vai ir bezgalīga.

Piemērs:

1. zīmējumā funkcijai \(x_0\) ir pārtraukuma punkts, jo funkcija punktā \(x_0\) nav definēta.

Punkts \(x_0\) ir pirmā veida un novēršams pārtraukuma punkts, jo abas vienpusējās robežas ir galīgas un vienādas:

Piemērs:

2. zīmējumā funkcijai \(x_0\) ir pārtraukuma punkts, jo vienpusējās robežas nav vienādas:

\lim_{x \to x_{0} + 0} f (x) \neq \lim_{x \to x_{0} - 0} f (x)

Tas ir pirmā veida pārtraukuma punkts, jo vienpusējās robežas ir galīgas.

Piemērs:

3. zīmējumā funkcijai \(x_0\) ir pārtraukuma punkts, jo funkcijai eksistē robeža, bet

\lim_{x \to x_{0}} f (x) \neq f (x_{0})

. Tas ir pirmā veida, novēršams pārtraukuma punkts, jo vienpusējās robežas ir galīgas un vienādas:

\lim_{x \to x_{0} + 0} f (x) = \lim_{x \to x_{0} - 0} f (x)

Ja funkcijai punktā \(x=a\) ir pārtraukums, tad, lai noskaidrotu pārtraukuma raksturu, jāatrod funkcijas robeža no kreisās puses un no labās puses, kad