Aplūkosim reālo skaitļu kopā vai arī kādā intervālā definētu funkciju \(f(x\)). Definēsim šīs funkcijas robežu . Lasa - "funkcijas \(f(x)\) robeža, \(x\) tiecoties uz skaitli \(a\), ir skaitlis \(A\)".
Skaitli A sauc par funkcijas \(f(x)\) robežu, kad , ja katram pozitīvam skaitlim var atrast tādu pozitīvu skaitli , ka ar visām tām \(x\) vērtībām, kurām , ir spēkā nevienādība .
Lietojot matemātiskās loģikas simbolus, definīciju var pierakstīt saīsināti:
, ka kuriem , ir .
Tas nozīmē, ka jebkurā pēc patikas mazā ap skaitli \(A\) konstruētā intervālā vienmēr atradīsies kāda funkcijas vērtība, kuras atbilstošais arguments iegūts ap skaitli \(a\) konstruētā intervālā.
Simbolu nozīme:
- "katram" (universiālkvantors),
- "eksistē" (eksistences kvantors).
Grieķu alfabēta burti: - epsilons; - delta.
Vidusskolas standartā ir prasība pierādīt robežas eksistenci ar robežas definīciju.
Piemērs:
Aprēķini un pierādi, ka iegūtā vērtība ir funkcijas robeža, izmantojot funkcijas robežas definīciju.
Redzam, ka \(x\) vietā ievietojot skaitli \(3\), robežas vērtība ir \(5\).
Saskaņā ar robežas definīciju ir jāpierāda, ka
Lai pēc brīvi izvēlēta atrastu vajadzīgo skaitli , pēdējā nevienādība ir jāatrisina attiecībā pret \(|x-3|.\)
Redzam, ka .
Līdz ar to ir pierādīts, ka
Tātad .
Ko tas nozīmē?
Mēs pierādījām, ka jebkuram eksistē atbilstoša .
Katram intervāla platumam uz \(y\) ass ar ir atbilstošs intervāla garums uz \(x\) ass ar .
Piemēram, ja mēs izvēlētos \(=0,01\), tad mēs uz \(y\) ass aplūkotu intervālu .
Mēs pierādījām, ka eksistē \( = 3\), kas noteiks atbilstošu intervālu uz \(x\) ass . Šajā intervālā noteikti atradīsies tāds \(x\), kuram funkcijas vērtība \(f(x)\) atradīsies \(y\) intervālā.
Lai kādu izvēlas, ir iespējams uzkonstruēt \(x\) intervālu, no kura var paņemt \(x\) un uzkonstuēt \(f(x)\)
vērtību y intervālā.
Atsauce:
Idejas autors Toms Akmens, Tukuma Raiņa ģimnāzijas matemātikas un fizikas skolotājs
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa, Jelgavas Tehnoloģiju vidusskolas matemātikas skolotāja