Par daļveida racionālu funkciju sauc divu polinomu attiecību.
Ja skaitītāja polinoma pakāpe ir mazāka nekā saucēja polinoma pakāpe, tad šo polinomu attiecību sauc par īstu daļveida racionālu funkciju.
Piemēram, .
Katru īstu daļveida racionālu funkciju var izteikt kā summu, kuras saskaitāmie ir visvienkāršākās algebriskās daļas - elementārdaļas.
Aplūkosim kā īstu daļveida racionālu funkciju var sadalīt elementārdaļās, t. i., izteikt to kā elementārdaļu summu ar nenoteiktiem koeficientiem.
Vidusskolas kursā aplūko tikai divu veidu elementārdaļas - reālām saknēm.
1) Katrai reālai vienkāršai saknei atbilst elementārdaļa .
2) Reālai saknei ar kārtu \(k\) (\(k>1\)) atbilst \(k\) elementārdaļas .
Kad īsta daļveida racionāla funkcija ir izteikta kā atbilstošo elementārdaļu summa, tad
1) vienādo saucējus;
2) pielīdzinot iegūto skaitītāju dotās funkcijas skaitītājam, aprēķina nezināmos koeficientus.
Piemērs:
Sadali elementārdaļās izteiksmi .
Risinājums.
Vispirms sadala reizinātājos saucēju. Saucējam ir divas dažādas reālas saknes \(3\) un \(4\).
Var uzrakstīt sadalījumu elementārdaļās:
Skaitītāji nav zināmi, tāpēc tos apzīmē ar burtiem \(A\) un \(B\).
Lai noskaidrotu \(A\) un \(B\), vienādo elementārdaļu saucējus:
Tā kā daļas ir vienādas, to saucēji arī ir vienādi, tad vienādiem jābūt arī skaitītājiem:
Ir dažādi veidi, kā noteikt \(A\) un \(B\).
Aprēķināsim šos koeficientus, \(x\) vietā ievietojot konkrētas vērtības. Zināms, ka uzrakstītā vienādība izpildās jebkurai \(x\) vērtībai.
1) \(x =4\), tad
Pagaidām iegūto \(A\) neizmantosim.
2) \(x\) vietā ievietosim otru sakni.
Ja \(x=3\), tad
Tātad
Nākošā teorijā aplūkosim 2) gadījumu, kad saucēja sakne ir ar kārtu \(k\) (\(k>1\)).
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa
Dainis Kriķis. Kārlis Šteiners. Matemātiskās analīzes elementi vidusskolai. 2. daļa. izm. 19.- 20. lpp.