Polinoma saknes — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Skaitli \(a\) sauc par polinoma sakni jeb polinoma nulli, ja polinoma vērtība ar \(x=a\) ir \(0\), tas ir \(P(a)=0.\)

Piemēram, skaitlis \((-2)\) ir polinoma

P (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 6 x - 4

sakne, jo

P (- 2) = {(- 2)}^{4} + 3 {\cdot (- 2)}^{3} - 6 \cdot (- 2) - 4 = 0

Skaitlis \(a\) ir polinoma sakne tad un tikai tad, ja polinoma vērtība \(P(a)\) ir vienāda ar nulli.

Polinoma sakne ir viens no vienādojuma \(P(x)=0\) atrisinājumiem.

Reducētā polinoma

P_{n} (x) = x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + ... + a_{n - 1} x^{1} + a_{n}

visas racionālās saknes ir brīvā locekļa

a_{n}

dalītāji.

Piemēram, polinoma

x^{3} - 7 x + 6

racionālās saknes var būt vienīgi skaitļa \(6\) dalītāji:

\pm 1; \pm 2; \pm 3; \pm 6

Pārbaudām, ar kuriem dalītājiem dotā polinoma vērtība ir vienāda ar nulli.

\begin{array}{l} \underline{P (x) = x^{3} - 7 x + 6} \\ P (1) = 1^{3} - 7 \cdot 1 + 6 = 0 \\ P (2) = 2^{3} - 7 \cdot 2 + 6 = 0 \\ P (3) = 3^{3} - 7 \cdot 3 + 6 \neq 0 \\ P (- 3) = {(- 3)}^{3} - 7 \cdot (- 3) + 6 = 0 \end{array}

Esam atraduši visas trīs polinoma

x^{3} - 7 x + 6

saknes:

x = 1; x = 2; x = - 3

. Pārējos skaitļus nav jāpārbauda. Trešās pakāpes polinomam var būt ne vairāk kā trīs saknes.

Šīs ir arī vienādojuma

x^{3} - 7 x + 6 = 0

saknes.

Piemērs:

Ar kādām \(m\) vērtībām skaitlis \(1\) ir polinoma

m x^{4} + 3 x^{2} - 7 x + 6

sakne?

Risinājums.

Skaitlis \(1\) ir polinoma sakne, ja \(P(1)=0\). Ievietojam \(x=1\) polinoma izteiksmē un atrisinām vienādojumu:

\begin{array}{l} m \cdot 1^{4} + 3 \cdot 1^{2} - 7 \cdot 1 + 6 = 0 \\ m + 3 - 7 + 6 = 0 \\ m = - 2 \end{array}

Atbilde: Skaitlis \(1\) ir polinoma sakne, ja \(m=-2.\)

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Atradi kļūdu?

7. Polinoma saknes