Aplūkosim kā īstu daļveida racionālu funkciju var sadalīt elementārdaļās, t. i., izteikt to kā elementārdaļu summu ar nenoteiktiem koeficientiem.
 
Vidusskolas kursā atkarībā no saucēja polinoma saknēm aplūko divu veidu elementārdaļas:
1) katrai reālai vienkāršai saknei \(a\) atbilst elementārdaļa Axa.
2) reālai saknei \(a\) ar kārtu \(k\) (\(k>1\)) atbilst \(k\) elementārdaļas A1xa+A2xa2+...+Akxak.
Katru elementārdaļu integrē atsevišķi.
 
Aplūkosim piemēru otrajam veidam, kurā saucēja saknes kārta ir \(k=2\).
Piemērs:
Nosaki integrāli 2x1x22x+1dx!
Sadalīsim elementārdaļās izteiksmi 2x1x22x+1.
Vispirms sadala reizinātājos saucēju. Saucējs ir starpības kvadrāts. Saucēja sakne \(x=1\) ir otrās kārtas sakne.
x22x+1=x12=x1x1
 
Uzraksta sadalījumu elementārdaļās: 
2x1x22x+1=2x1x12=Ax1+Bx12
Tā kā ir tikai divi koeficienti, pieraksta vienkāršības dēļ, otro koeficientu apzīmē ar \(B.\)
 
Lai noskaidrotu \(A\) un \(B\), vienādo elementārdaļu saucējus:
 
2x1x22x+1=A(x1x1+Bx122x1x22x+1=Ax1+Bx22x+1
 
Tā kā daļas ir vienādas, to saucēji arī ir vienādi, tad vienādiem jābūt arī skaitītājiem:
2x1=AxA+BAxA+B=2x1
 
Zināms, ka uzrakstītā vienādība izpildās jebkurai \(x\) vērtībai.
1) \(x\) vietā ievietosim sakni
Ja \(x=1\), tad
A1A+B=211B=1
 
2) Lai iegūtu \(A\) vērtību, var rīkoties dažādi.
Mēs ievietosim iegūto \(B\) vērtību un izvēlēsimies \(x=0\)
A0A+1=201A+1=1A=2A=2
 
Tātad dotās funkcijas sadalījums elementārdaļās ir:
2x1x22x+1=2x1+1x12
 
Integrē doto funkciju.
Nosakot integrāli, ievēro, ka otro elementārdaļu integrē kā pakāpi, pārejot uz citu diferenciāli.
1u2du=u2du=u11+C=1u+C
 
Tātad
2x1x22x+1dx==2x1+1x12dx==21x1dx+1x12dx==2lnx11x1+C
 
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa
Dainis Kriķis. Kārlis Šteiners. Matemātiskās analīzes elementi vidusskolai. 2. daļa. izm. 19.- 20. lpp.
Idejas autors Toms Akmens, Tukuma Raiņa ģimnāzijas matemātikas un fizikas skolotājs