Neīstas daļveida racionālas funkcijas integrēšana — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Par daļveida racionālu funkciju sauc divu polinomu attiecību.

Ja skaitītāja polinoma pakāpe ir mazāka nekā saucēja polinoma pakāpe, tad šo polinomu attiecību sauc par īstu daļveida racionālu funkciju.

Piemēram,

\frac{1}{x + 3}; \frac{x + 1}{x^{2} + 2}; \frac{x^{2} - 4 x}{x^{3} - 2}

Ja skaitītāja polinoma pakāpe ir lielāka nekā saucēja polinoma pakāpe vai vienāda ar saucēja polinoma pakāpi, tad šo polinomu attiecību sauc par neīstu daļveida racionālu funkciju.

Piemēram,

\frac{x + 1}{x + 2}; \frac{x^{2} - 4 x}{x - 2}; \frac{x^{4} + 3}{x - 1}

Atceries, neīsta daļa ir daļskaitlis, kura skaitītājs ir tikpat liels vai lielāks, salīdzinot ar saucēju. Piemēram,

\frac{5}{5}; \frac{27}{4}

Pirms neīstas racionālas daļveida funkcijas integrēšanas veselo atdala no daļas.

Aplūkosim piemēru, kā atdala veselo no daļas skaitliskā piemērā

\frac{27}{4}

27 : 4 = 6

, atlikumā ir \(3\), tātad

\frac{27}{4} = 6 + \frac{3}{4} = 6 \frac{3}{4}

Svarīgi!

Katru neīstu daļveida racionālu funkciju var izteikt kā šo daļu dalījuma polinoma un tādas īstas algebriskas daļas summu, kuras skaitītājā ir dalīšanas atlikums, bet saucējā - dotās daļveida racionālās funkcijas saucēja polinoms.

Vispārīgā gadījumā, lai veselo atdalītu no daļas, veic polinomu dalīšanu.

Piemērs:

Nosaki

\int \frac{x^{2} - 3}{x - 3} dx

Lai zemintegrāļa izteiksmē atdalītu veselo no daļas, izpilda polinomu dalīšanu:

\begin{array}{l} (x^{2} + 0 x - 3) : (x - 3) = x + 3 + \frac{6}{x - 3} \\ \underline{- (x^{2} - 3 x)} \\ 3 x - 3 \\ \underline{- (3 x - 9)} \\ 6 \end{array}

Nosaka integrāli:

\begin{array}{l} \int \frac{x^{2} - 3}{x - 3} dx = \int (x + 3 + \frac{6}{x - 3}) dx \\ = \int xdx + 3 \int dx + \int \frac{6}{x - 3} dx = \\ = \frac{x^{2}}{2} + 3 x + 6 \cdot \ln |x - 3| + C \end{array}

Lai veselo atdalītu no daļas, ne vienmēr nepieciešams veikt polinomu dalīšanu. Dažreiz veselo no daļas var atdalīt, skaitītājam pieskaitot vai atņemot atbilstošu skaitli.

Aplūkosim iepriekšējo piemēru.

Redzam, ka skaitītājā var izveidot kvadrātu starpību.