2. Plaknes figūras laukuma aprēķināšana ar noteikto integrāli

Ar noteikto integrāli var aprēķināt līklīnijas trapeces laukumu.

 

Līklīnijas trapece ir figūra, kuru ierobežo funkcija \(f(x\)), \(Ox\) ass un taisnes \(x=a\) un \(x=b\). Funkcija \(f(x)\) ir nepārtraukta un nenegatīva intervālā \([a;b].\)

 

Aplūkosim biežāk sastopamās situācijas, kādas rodas, aprēķinot plaknes figūras laukumu ar noteiktā integrāļa palīdzību.

 

 

 

Ja intervālā \([a;b]\) funkcija $f\left(x\right)\ge 0$, tad $S_{\mathit{ab}}=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathit{dx}$.

 

 

Ja intervālā \([a;b]\) funkcija $f\left(x\right)\le 0$, tad $S_{\mathit{ab}}=\underset{a}{\overset{b}{\int }}-f(x)\mathit{dx}=-\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathit{dx}=\left|\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathit{dx}\right|$.

  

  

 

Ja intervālā \([a;d]\) funkcijas vērtības maina zīmi, tad atrisinot vienādojumu \(f(x)=0\), atrod grafika un \(Ox\) ass krustpunktu abscisas.

Zīmējumā doto laukumu var aprēķināt sekojoši:

vai arī

 

  

 

 

Ja figūru ierobežo divu vai vairāku funkciju grafiki \(f(x)\) un \(g(x\)), vispirms atrod doto funkciju grafiku krustpunktu abscisas. Atrisina vienādojumu \(f(x)=g(x\)), iegūstot saknes $x_1=a,x_2=b$. Iesvītrotās figūras laukumu var izteikt kā divu līklīnijas trapeču laukumu starpību:

$S_{\mathit{ab}}=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathit{dx}-\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)\mathit{dx}=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left(f(x)-g(x)\right)\mathit{dx}$.

 

Šis likums ir spēkā arī tad, ja abas vai viena no funkcijām ir negatīva vai arī šajā intervālā maina zīmi.