Plaknes figūras laukums, ja funkcija maina zīmi — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Aplūkosim, kā aprēķina plaknes figūras laukumu ar noteiktā integrāļa palīdzību, situācijā, ja funkcijas vērtības intervālā maina zīmi.

Ja intervālā \([a;d]\) funkcijas vērtības maina zīmi, tad atrisinot vienādojumu \(f(x)=0\), atrod grafika un \(Ox\) ass krustpunktu abscisas.

Zīmējumā doto laukumu var aprēķināt sekojoši:

S_{ad} = S_{ab} + S_{bc} + S_{cd} = \int_{a}^{b} f (x) dx + |\int_{b}^{c} f (x) dx| + \int_{c}^{d} f (x) dx

vai arī

S_{ad} = S_{ab} + S_{bc} + S_{cd} = \int_{a}^{b} f (x) dx - \int_{b}^{c} f (x) dx + \int_{c}^{d} f (x) dx

Piemērs:

Aprēķini laukumu figūrai, ja to ierobežo līnijas

y = \frac{1}{2} x

, \(y=0\), \(x=-3\), \(x=5\).

Risinājums.

Vispirms skicē grafiku un izvēlas atbilstošo figūru.

Laukumu rēķina:

S = - \int_{- 3}^{0} \frac{1}{2} xdx + \int_{0}^{5} \frac{1}{2} xdx

vai arī

S = \int_{0}^{5} \frac{1}{2} xdx - \int_{- 3}^{0} \frac{1}{2} xdx

Lai izvairītos no daudzām mīnusa zīmēm, izvēlamies lietot pierakstu ar moduli:

\begin{array}{l} S = |\int_{- 3}^{0} \frac{1}{2} xdx| + \int_{0}^{5} \frac{1}{2} xdx = |\frac{1}{2} \int_{- 3}^{0} xdx| + \frac{1}{2} \int_{0}^{5} xdx \\ = |\frac{x^{2}}{4}| \begin{array}{l} 0 \\ - 3 \end{array}| + \frac{x^{2}}{4}| \begin{array}{l} 5 \\ 0 \end{array} = \\ = |- \frac{9}{4} - 0| + \frac{25}{4} - 0 = \frac{34}{4} = 8 \frac{1}{2} \end{array}

Šo rezultātu viegli pārbaudīt, jo prasīto laukumu veido divi taisnleņķa trijstūri, kuru laukums ir katešu reizinājuma puse:

S = S_{1} + S_{2} = \frac{1}{2} (3 \cdot \frac{3}{2} + 5 \cdot \frac{5}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{34}{2} = 8 \frac{1}{2}

Atbilde: Ierobežotās figūras laukums ir

8 \frac{1}{2}

laukuma vienības.

Ieteikums.

Tad, kad figūru laukumi ir sarežģītāki, atbildi var pārbaudīt aptuveni, saskaitot iezīmētās figūras laukuma vienības.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Atradi kļūdu?

4. Plaknes figūras laukums, ja funkcija maina zīmi