Primitīvā funkcija. Nenoteiktā integrāļa definīcija — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Matemātikā ļoti svarīga darbība ir atvasināšana. Taču ne mazāk nozīmīga ir atvasināšanas apgrieztā darbība. Iepriekš jau bija pazīstamas matemātiskās darbības un to apgrieztās darbības, piemēram, saskaitīšanas apgrieztā darbība ir atņemšana, reizināšanas - dalīšana.

Aplūkosim divus uzdevumus, kuros veicamās darbības ir pretējas.

1) Nosaki funkcijas

F (x) = x^{3}

atvasinājumu!

Atbilde: Atvasinājums ir

F^{'} (x) = 3 x^{2}

2) Nosaki funkciju, kuru atvasinot, iegūst

f (x) = 3 x^{2}

Atbilde: Jāatvasina funkcija

F (x) = x^{3}

Ja visiem \(x\) no kāda intervāla ir spēkā vienādība

F^{'} (x) = f (x)

, tad funkciju \(F(x)\) sauc par funkcijas \(f(x)\) primitīvo funkciju šajā intervālā.

Tātad

F (x) = x^{3}

ir funkcijas

f (x) = 3 x^{2}

primitīvā funkcija.

Teikums: "Nosaki funkciju, kuru atvasinot, iegūst

f (x) = 3 x^{2}

", nozīmē - nosaki funkcijas

f (x) = 3 x^{2}

primitīvo funkciju!

Piemērs:

Nosaki funkcijas

f (x) = 10 x^{4}

primitīvo funkciju \(F(x\))!

Mums ir jāzina, kādu funkciju atvasinot var iegūt \(x\) ceturto pakāpi.

{(x^{5})}^{'} = 5 x^{4}

Redzam, ka koeficients dotajai funkcijai ir \(2\) reizes lielāks.

Izdaram pārveidojumus:

f (x) = 10 x^{4} = 2 \cdot \underline{5 x^{4}} = 2 \cdot \underline{{(x^{5})}^{'}} = {(2 x^{5})}^{'}

Tātad \(f(x)\) primitīvā funkcija

F (x) = 2 x^{5}

Pārbaude:

F^{'} (x) = {(2 x^{5})}^{'} = 2 \cdot 5 x^{4} = 10 x^{4} = f (x)

Lai ērtāk būtu atrast pakāpes primitīvo funkciju, iegūsim pakāpes funkcijas formulu vispārīgā veidā.

Izmantojam pakāpes atvasināšanas formulu:

{(x^{α})}^{'} = α x^{α - 1}

f (x) = α x^{α - 1} \Rightarrow F (x) = x^{α}

Tātad

\begin{array}{l} f (x) = \frac{α x^{α - 1}}{α} \Rightarrow F (x) = \frac{x^{α}}{α} \\ f (x) = x^{α - 1} \Rightarrow F (x) = \frac{x^{α}}{α} \end{array}

jeb

f (x) = x^{α} \Rightarrow F (x) = \frac{x^{α + 1}}{α + 1}, α \neq - 1

Piemērs:

Izmantojot formulu, atrodi funkcijas

f (x) = x^{6}

primitīvo funkciju!

Pēc formulas

F (x) = \frac{x^{6 + 1}}{6 + 1} = \frac{x^{7}}{7}

Pārbaude:

\begin{array}{l} {(\frac{x^{7}}{7})}^{'} = \frac{1}{7} \cdot 7 x^{6} = x^{6} \\ F^{'} (x) = f (x) \end{array}

Tomēr pastāv problēma, ka iegūtā funkcija nav vienīgā primitīvā funkcija.

Atvasināsim sekojošas izteiksmes:

\begin{array}{l} {(\frac{x^{7}}{7} + 3)}^{'} = \frac{7}{7} x^{6} + 0 = x^{6} \\ {(\frac{x^{7}}{7} - 5)}^{'} = \frac{7}{7} x^{6} - 0 = x^{6} \\ {(\frac{x^{7}}{7} + C)}^{'} = \frac{7}{7} x^{6} + 0 = x^{6} \end{array}

Redzam, ka katra no šīm izteiksmēm der par funkcijas

f (x) = x^{6}

primitīvo funkciju.

Ja \(F(x)\) ir funkcijas \(f(x)\) primitīvā funkcija kādā intervālā, tad \(F(x)+C\) arī ir funkcijas \(f(x)\) primitīvā funkcija šajā intervālā.

Vispārīgā gadījumā funkcijai

f (x) = x^{6}

ir bezgalīgi daudz primitīvās funkcijas, tās visas atšķiras ar konstantu saskaitāmo.

{F (x) = \frac{x^{7}}{7} + C, jo (\frac{x^{7}}{7} + C)}^{'} = \frac{7}{7} x^{6} + 0 = x^{6}

Funkcijas \(f(x)\) visu primitīvo funkciju kopu \(F(x)+C\) kādā intervālā sauc par šīs funkcijas nenoteikto integrāli un apzīmē ar simbolu

\int f (x) dx

, lasa: " funkcijas f(x) integrālis". Funkcijas primitīvās funkcijas atrašanu sauc par integrēšanu. \(C\) sauc par integrācijas konstanti.

Pēc definīcijas:

\int f (x) dx = F (x) + C

Piemērs:

\begin{array}{l} \int 3 x^{2} dx = x^{3} + C \\ \int 10 x^{4} dx = 2 x^{5} + C \\ \int x^{6} dx = \frac{x^{7}}{7} + C \end{array}

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Idejas autors Toms Akmens, Tukuma Raiņa ģimnāzijas matemātikas un fizikas skolotājs

Dainis Kriķis. Kārlis Šteiners. Matemātiskās analīzes elementi vidusskolai. 2. daļa. izm. 3.- 5. lpp.

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

2. Primitīvā funkcija. Nenoteiktā integrāļa definīcija

Teorija