Integrēšana, reizinātāju panesot zem diferenciāļa zīmes — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Video mācību materiāli

"MATEMĀTIKA II"

Dota funkcija

y = f (x)

. Ir zināms, ka

y^{'} = \frac{dy}{dx}

Funkcijas

y = f (x)

diferenciālis ir vienāds ar šīs funkcijas atvasinājuma un argumenta diferenciāļa reizinājumu

dy = y^{'} dx

Sakarība starp integrāļiem, ja funkciju diferenciāļi atšķiras par saskaitāmo \(c\), kur \(c\) – reāls skaitlis

Tā kā

d (x \pm c)) = {(x \pm c)}^{'} dx

, tad, izteiksmei aiz diferenciāļa zīmes pieskaitot vai atņemot konstanti, diferenciālis nemainās:

dx = d (x \pm c)

Sakarība starp integrāļiem, ja funkciju diferenciāļi atšķiras ar konstantu reizinātāju

d (kx) = {(kx)}^{'} dx = kdx

, jo konstantu reizinātāju \(k\) var iznest pirms atvasinājuma zīmes.

Tāpēc, reizinot izteiksmi aiz diferenciāļa simbola ar konstanti \(k\), diferenciālis jāreizina ar konstantei apgriezto lielumu

\frac{1}{k}

dx = \frac{1}{k} d (kx)

Sakarība starp integrāļiem, ja funkciju diferenciāļi atšķiras gan par saskaitāmo, gan ar konstantu reizinātāju

dx = d (x \pm c)

dx = \frac{1}{k} d (kx)

, varam secināt, ka

dx = \frac{1}{k} d (kx \pm c)

Šo darbību - panešanu zem diferenciāļa, izmanto, aprēķinot nenoteikto integrāli.

Ja \(u=u(x)\) un doto nenoteikto integrāli ir iespējams pārveidot formā

\int f (u) \cdot u^{'} (x) dx = \int f (u) du

, tad

\int f (u) du = F (u) + C

. Tas nozīmē, ka visas integrēšanas formulas saglabājas, ja \(x\) vietā ir funkcija \(u=u(x).\)

Piemērs:

Atrodi integrāli, par integrēšanas mainīgo lielumu uzskatot izteiksmi zem diferenciāļa simbola.

\int {(2 x + 1)}^{4} d (2 x + 1) = \frac{{(2 x + 1)}^{4 + 1}}{4 + 1} + C = \frac{{(2 x + 1)}^{5}}{5} + C

Skaidrojums: apzīmējot

u = 2 x + 1,

iegūst integrāli

\int u^{4} du

, kuru integrējot pēc pamatformulas iegūst

\frac{u^{5}}{5} + C

\int e^{3 - 4 x} d (3 - 4 x) = e^{3 - 4 x} + C

Ja apzīmē

u = 3 - 4 x

, tad

\int e^{u} du = e^{u} + C

Var veidot sekojošu saīsināto pierakstu:

\int e^{3 - 4 x} d (3 - 4 x) = [u = 3 - 4 x, \int e^{u} du = e^{u} + C] = e^{3 - 4 x} + C

Parasti uzdevumos nepieciešamo konstanti zem diferenciāļa ir jāpanes pašam.

1. Atrodi integrāli, vispirms panesot zem diferenciāļa zīmes nepieciešamo konstanti. Izmanto likumu

dx = d (x \pm c)

\int {(x - 6)}^{4} dx = \int {(x - 6)}^{4} d (x - 6) =

= [u = x - 6, \int u^{4} du = \frac{u^{5}}{5} + C] = \frac{{(x - 6)}^{5}}{5} + C

2. Atrodi integrāli, vispirms panesot zem diferenciāļa zīmes nepieciešamo konstanti. Izmanto likumu

dx = \frac{1}{k} d (kx)

\int \sin 8 x = \int \frac{1}{8} \sin 8 x d (8 x) = [u = 8 x, \int \sin u du = - \cos u + C] = - \frac{1}{8} \cos 8 x + C

3. Atrodi integrāli, vispirms panesot zem diferenciāļa zīmes nepieciešamo konstanti. Izmanto likumu

dx = \frac{1}{k} d (kx \pm c)

{\int (7 x - 6)}^{4} dx = \frac{1}{7} \int {(7 x - 6)}^{4} d (7 x - 6) =

= [u = 7 x - 6, \int u^{4} du = \frac{u^{5}}{5} + C] =

= \frac{1}{7} \cdot \frac{{(7 x - 6)}^{5}}{5} + C = \frac{{(7 x - 6)}^{5}}{35} + C

Aiz diferenciāļa simbola drīkst ienest ne tikai konstanti, bet arī funkciju, bet šādas darbības nav paredzētas vidusskolas kursā. Tāpat vidusskolas standartā nav paredzēta integrēšana ar substitūcijas metodi.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Dainis Kriķis. Kārlis Šteiners. Matemātiskās analīzes elementi vidusskolai. 2. daļa. izm. 9. lpp.

https://mape.skola2030.lv/resources/9482

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamais uzdevums

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

Video mācību materiāli

"MATEMĀTIKA II"

PALĪGSMĀCĪBĀS.LV

2. Integrēšana, reizinātāju panesot zem diferenciāļa zīmes

Teorija