Video mācību materiāli
"MATEMĀTIKA II"
Pierādi lodes tilpuma aprēķināšanas formulu, izmantojot noteikto integrāli.
 
Pierādījums
 
Ja rotācijas ķermenis rodas, funkcijas \(f(x)\) grafikam intervālā \([a;b]\) rotējot ap  asi, tā tilpumu aprēķina ar formulu: Vx=πabi2dx. Jāuzzina funkcija.
 
Novietosim puslodi tā, kā parādīts zīmējumā, lai lodes centrs sakrīt ar koordinātu sākumpunktu.
YCUZD_161222_4837_2.svg
  
Riņķa līnijas vienādojums  x2+y2=R2.
 
Tā kā ap \(Ox\) asi rotē augšējais loks, mums nepieciešama tikai augšējā loka (sarkanā krāsā) funkcija.
 
Ar noteikto integrāli iegūsim puslodes tilpumu.
 
Savieto pareizā secībā pareizās izteiksmes!
Atbilžu varianti:
πR2x0Rπx330R
πR20Rdx0Rx2dx
πR3πR32
π0RR2x22dx
π0RR2x2dx
23πR3
πR3R33
 
Puslodes tilpums ir:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
 
Tā kā mēs aprēķinājām puslodes tilpumu, tātad, lai iegūtu lodes tilpumu, rezultāts jāreizina ar \(2\).
Lodes tilpums ir
iiπR3
 
Tas bija jāpierāda.
 
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa
Lai iesniegtu atbildi un redzētu rezultātus, Tev nepieciešams autorizēties. Lūdzu, ielogojies savā profilā vai reģistrējies portālā!