Video mācību materiāli
"MATEMĀTIKA II"
Sakarības starp lielumiem telpisko ķermeņos
Piemērs:
Pierādi nošķelta konusa tilpuma aprēķināšanas formulu, izmantojot noteikto integrāli.
Pierādījums
 
Formulu lapā ir dota nošķelta konusa tilpuma formula: V=πH3R2+Rr+r2
Par nošķeltu konusu sauc rotācijas figūru, kas veidojas, taisnleņķa trapecei rotējot ap īsāko sānu malu (zīmējumā tā ir \(H\)).
YCUZD_161222_4840_2.svg
 
Ja rotācijas ķermenis rodas, funkcijas \(f(x)\) grafikam intervālā \([a;b]\) rotējot ap \(Ox\) asi, tā tilpumu aprēķina ar formulu Vx=πabfx2dx. Formula ir dota formulu lapā.
Lai uzzinātu, kas ir funkcija \(f(x) \), jāatrod konusa veidules vienādojums.
YCUZD_161222_4840_3.svg
Novietosim trapeci tā, lai tā rotē ap \(Ox\) asi, sekojoši - nošķelta konusa augstums \(H\) atrodas uz \(Ox\) ass.
YCUZD_161222_4840_1_1.svg
  
Meklējam vienādojumu taisnei, kas vilkta caur koordinātu sākumpunktu. Zinām, ka taisnes virziena koeficients ir tangenss leņķim, ko taisne veido ar \(Ox\) ass pozitīvo virzienu.
Pēc sakarībām taisnleņķa trijstūrī tgα=RrH.
 
Uzzīmējam jaunu zīmējumu: pabīdam konusa mazāko pamatu līdz Oy asij. Tā lai konusa augstuma galapunkti būtu \((0;0)\) un \((H;0).\)
Šajā gadījumā veidules vienādojums ir y=RrHx+r
Kur \(R\) un \(r\) ir nošķeltā konusa rādiusi (\(r<R\)).
 
Vn.k.=π0HRrHx+r2dx==πHRr0HRrHx+r2dRrHx+r==πHRr13RrHx+r3H0==πH3RrR3r3==πH3R2+Rr+r2
 
Ievēro, ka dx=1kdkx±c un a3b3=aba2+ab+b2.
 
Nošķelta konusa tilpumu aprēķināšanas formula V=πH3R2+Rr+r2.
 
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa
Idejas autors Toms Akmens, Tukuma Raiņa ģimnāzijas matemātikas un fizikas skolotājs, Skola2030 eksperts