Sakarības starp lielumiem telpisko ķermeņos
Piemērs:
Pierādi nošķelta konusa tilpuma aprēķināšanas formulu, izmantojot noteikto integrāli.
Pierādījums
Par nošķeltu konusu sauc rotācijas figūru, kas veidojas, taisnleņķa trapecei rotējot ap īsāko sānu malu (zīmējumā tā ir \(H\)).
Ja rotācijas ķermenis rodas, funkcijas \(f(x)\) grafikam intervālā \([a;b]\) rotējot ap \(Ox\) asi, tā tilpumu aprēķina ar formulu . Formula ir dota formulu lapā.
Lai uzzinātu, kas ir funkcija \(f(x) \), jāatrod konusa veidules vienādojums.
Novietosim trapeci tā, lai tā rotē ap \(Ox\) asi, sekojoši - nošķelta konusa augstums \(H\) atrodas uz \(Ox\) ass.
Meklējam vienādojumu taisnei, kas vilkta caur koordinātu sākumpunktu. Zinām, ka taisnes virziena koeficients ir tangenss leņķim, ko taisne veido ar \(Ox\) ass pozitīvo virzienu.
Pēc sakarībām taisnleņķa trijstūrī .
Uzzīmējam jaunu zīmējumu: pabīdam konusa mazāko pamatu līdz Oy asij. Tā lai konusa augstuma galapunkti būtu \((0;0)\) un \((H;0).\)
Šajā gadījumā veidules vienādojums ir
Kur \(R\) un \(r\) ir nošķeltā konusa rādiusi (\(r<R\)).
Ievēro, ka un .
Nošķelta konusa tilpumu aprēķināšanas formula .
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa
Idejas autors Toms Akmens, Tukuma Raiņa ģimnāzijas matemātikas un fizikas skolotājs, Skola2030 eksperts