Matemātika II - jauna mācību tēma
"Pakāpes funkcija un logaritmiskā funkcija"
Eksāmena parauguzdevums, kurā izglītojamais demonstrē prasmes analizēt, raksturot un veidot matemātiskos modeļus.
Piemērs:
Atrisini nevienādību sinx24sin2x1>0 intervālā xπ2;3π2.
Risinājums
Apzīmē \(sinx=a\)
Iegūst nevienādību a24a21>0, kuru risina ar intervālu metodi.
\(a-2=0\)
\(a=2\)
 
4a2104a21a214a12;a12
 
Nosaka vienādzīmju intervālus.
No skaitītāja ir augoša taisne, kas krusto \(a\) asi punktā \(2\) (nevienādībai ir stingrā nevienādības zīme, tāpēc punkts ir tukšs).
No saucēja ir parabola ar zariem uz augšu (pēc definīcijas apgabala, punkti ir tukši).
 
YCUZD_160323_5096_2.svg
 
Daļa a24a21>0 (pozitīva) divos intervālos.
1)
12<a<1212<sinx<12
Skicējam trigonometriskās nevienādības atrisinājumu vienības riņķī:
 
YCUZD_160323_5096_4 (1).svg
Ievērojot uzdevumā norādīto intervālu xπ2;3π2, iegūst atrisinājumu x(5π6;7π6).
2) \(a>2\)
\(sinx>2\)
Atrisinājuma nav, ņemot vērā sinusa vērtību kopu: sinx1;1.
 
Atbilde: x(5π6;7π6).
 
Cits risinājuma veids
Uzdevumu var risināt, nelietojot substitūciju.
Tādā gadījumā jādod precīzi skaidrojumi.
 
1. spriedums: Tā kā sinx1;1, tad skaitītājs \(sinx - 2<0\) visām \(x\) vērtībām.
 
2. spriedums: Tā kā skaitītājs ir negatīvs, lai dalījums būtu pozitīvs, arī saucējam jābūt negatīvam (=+
 
4sin2x1<04sin2x<1sin2x<14sinx<1212<sinx<12
 
YCUZD_160323_5096_4 (1).svg
 
Ievērojot doto intervālu xπ2;3π2, iegūst atrisinājumu x(5π6;7π6).
 
Eksāmenā par šo uzdevumu var saņemt 6 punktus.
 
Atsauce:
Matemātikas valsts pārbaudes darbs augstākajā mācību satura  apguves līmenī. Valsts pārbaudes darba paraugs