Trigonometriska nevienādība — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Eksāmena parauguzdevums, kurā izglītojamais demonstrē prasmes analizēt, raksturot un veidot matemātiskos modeļus.

Piemērs:
Atrisini nevienādību $\frac{sinx - 2}{{4 \sin}^{2} x - 1} > 0$ intervālā $x \in [\frac{π}{2}; \frac{3 π}{2}]$ .

Risinājums

Apzīmē $sinx=a$

Iegūst nevienādību

\frac{a - 2}{4 a^{2} - 1} > 0

, kuru risina ar intervālu metodi.

$a-2=0$

$a=2$

\begin{array}{l} 4 a^{2} - 1 \neq 0 \\ 4 a^{2} \neq 1 \\ a^{2} \neq \frac{1}{4} \\ a \neq \frac{1}{2}; a \neq - \frac{1}{2} \end{array}

Nosaka vienādzīmju intervālus.

No skaitītāja ir augoša taisne, kas krusto $a$ asi punktā $2$ (nevienādībai ir stingrā nevienādības zīme, tāpēc punkts ir tukšs).

No saucēja ir parabola ar zariem uz augšu (pēc definīcijas apgabala, punkti ir tukši).

Daļa

\frac{a - 2}{4 a^{2} - 1} > 0

(pozitīva) divos intervālos.

\begin{array}{l} - \frac{1}{2} < a < \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} < sinx < \frac{1}{2} \end{array}

Skicējam trigonometriskās nevienādības atrisinājumu vienības riņķī:

Ievērojot uzdevumā norādīto intervālu

x \in [\frac{π}{2}; \frac{3 π}{2}]

, iegūst atrisinājumu

x \in (\frac{5 π}{6}; \frac{7 π}{6})

2) $a>2$

$sinx>2$

Atrisinājuma nav, ņemot vērā sinusa vērtību kopu:

sinx \in [- 1; 1]

Atbilde:

x \in (\frac{5 π}{6}; \frac{7 π}{6})

Cits risinājuma veids

Uzdevumu var risināt, nelietojot substitūciju.

Tādā gadījumā jādod precīzi skaidrojumi.

1. spriedums: Tā kā

sinx \in [- 1; 1]

, tad skaitītājs $sinx - 2<0$ visām $x$ vērtībām.

2. spriedums: Tā kā skaitītājs ir negatīvs, lai dalījums būtu pozitīvs, arī saucējam jābūt negatīvam (

\frac{(-)}{(-)} = (+)

\begin{array}{l} 4 \sin^{2} x - 1 < 0 \\ 4 \sin^{2} x < 1 \\ \sin^{2} x < \frac{1}{4} \\ |sinx| < \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} < sinx < \frac{1}{2} \end{array}

Ievērojot doto intervālu

x \in [\frac{π}{2}; \frac{3 π}{2}]

, iegūst atrisinājumu

x \in (\frac{5 π}{6}; \frac{7 π}{6})

Eksāmenā par šo uzdevumu var saņemt 6 punktus.

Atsauce:

Matemātikas valsts pārbaudes darbs augstākajā mācību satura apguves līmenī. Valsts pārbaudes darba paraugs

Atradi kļūdu?

7. Trigonometriska nevienādība