Divnieka pakāpes Paskāla trijstūrī — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Aplūkosim interesantu kombināciju īpašību, kuru viegli pamanīt Paskāla trijstūrī.

C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + ... + C_{n}^{n - 1} + C_{n}^{n} = 2^{n}

, kur $n$ ir vesels nenegatīvs skaitlis $(0; 1; 2; 3; 4; ...)$.

Paskāla trijstūrī katras rindas skaitļu summa ir divnieka pakāpe. Pakāpe atbilst skaitļu rindas kārtas numuram (numerāciju sākot no nulles).

				$1$					$2^{0} = 1$
			$1$	+	$1$				$2^{1} = 2$
		$1$	+	$2$	+	$1$			$2^{2} = 4$
	$1$	+	$3$	+	$3$	+	$1$		$2^{3} = 8$
$1$	+	$4$	+	$6$	+	$4$	+	$ 1$	$2^{4} = 16$

Šo likumu var pierādīt ar matemātisko indukciju un ar Ņūtona binoma formulu (ko apgūsi nākošā tematā).

Aplūkosim šī likuma interpretāciju.

Ja dota galīga kopa no $n$ elementiem, tad kombinācijas

C_{n}^{0}, C_{n}^{1}, C_{n}^{2}, ... C_{n}^{n - 1}, C_{n}^{n}

izsaka visu iespējamo dažādo apakškopu skaitu.

Piemēram, kopu veido desmit krāsu zīmuļi. Noskaidrosim, cik pavisam ir dažādo apakškopu:

Apakškopas elementu skaits	Cik veidos šo apakškopu var izveidot
neviens zīmulis	$C_{10}^{0}$ $=1$
$1$ zīmulis	$C_{10}^{1}$ $=10 $
$2$ zīmuļi	$C_{10}^{2}$
$...$	$...$
$9$ zīmuļi	$C_{10}^{9}$
$10$ zīmuļi	$C_{10}^{10} = 1$
kopā:	$2^{10} = 1024$

Pēc tikko aplūkotā likuma Paskāla trijstūrī var secināt, ka visu apakškopu skaits ir $1024$, jo

\sum_{i = 0}^{10} C_{10}^{i} = C_{10}^{0} + C_{10}^{1} + C_{10}^{2} + ... + C_{10}^{9} + C_{10}^{10} = 2^{10} = 1024

Šis likums ietaupa laiku, jo nav jārēķina katras kombinācijas vērtība. Tas ir īpaši svarīgi, ja kopas apjoms ir liels.

Piemērs:

Markuss vēlējās apsveikt savu draudzeni dzimšanas dienā. Ziedu veikala pārdevējai bija atlikuši $11$ ziedi. Markuss nolēma dažus no tiem nopirkt. Cik izvēles iespējas ir Markusam, ja viņš var nopirkt jebkuru skaitu no $1$ līdz $11$ ziediem, tas ir $1; 2; 3;$ … vai visus $11$ ziedus.

Risinājums

Vienu ziedu var izvēlēties

C_{11}^{1}

veidos ($11$ veidi).

Divus ziedus var izvēlēties

C_{11}^{2}

veidos.

…

$10 $ ziedus var izvēlēties

C_{11}^{10}

veidos.

Visus $11$ ziedus viņš var izvēlēties

C_{11}^{11}

veidos ($1$ veids).

Markusa kopējais izvēļu skaits ir

C_{11}^{1} + C_{11}^{2} + ... + C_{11}^{10} + C_{11}^{11}

Ievērojam, ka esam ieguvuši Paskāla trijstūra $12.$ rindas (jo numerācija sākas no $0$-tās rindiņas) skaitļu summu, kurā trūkst pirmais skaitlis

C_{11}^{0} = 1

, jo Markuss noteikti nopirks kaut vienu ziedu.

Paskāla trijstūrī katras rindas skaitļu summa ir divnieka pakāpe.

Lai aprēķinātu uzdevumā prasīto izvēļu skaitu, no summas atņem pirmo saskaitāmo

C_{11}^{0}

\sum_{i = 0}^{11} C_{11}^{i} = C_{11}^{0} + C_{11}^{1} + ... + C_{11}^{10} + C_{11}^{11} = 2^{11}

\begin{array}{l} C_{11}^{1} + ... + C_{11}^{10} + C_{11}^{11} = 2^{11} - C_{11}^{0} \\ C_{11}^{1} + ... + C_{11}^{10} + C_{11}^{11} = 2^{11} - 1 = 2047 \end{array}

Atbilde: Markuss ziedus var nopirkt $2047$ veidos.

Vingrinies portālā šeit un nedaudz grūtāku uzdevumu šeit.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamais uzdevums

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

				\(1\)					$2^{0} = 1$
			\(1\)	+	\(1\)				$2^{1} = 2$
		\(1\)	+	\(2\)	+	\(1\)			$2^{2} = 4$
	\(1\)	+	\(3\)	+	\(3\)	+	\(1\)		$2^{3} = 8$
\(1\)	+	\(4\)	+	\(6\)	+	\(4\)	+	\( 1\)	$2^{4} = 16$

5. Divnieka pakāpes Paskāla trijstūrī

Teorija