Pierādījums ar MIP — uzdevums. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Pierādi ar matemātisko indukciju, ka

C_{2}^{2} + C_{3}^{2} + C_{4}^{2} + ... + C_{n}^{2} = C_{n + 1}^{3}

n \geq 2

Pierādījums

1) Indukcijas bāze. Pārbaudām, vai ir patiess apgalvojums, ja

n = i

C_{i}^{2} = C_{i}^{3}

, jo

i = i

2) Induktīvais pieņēmums (hipotēze). Pieņemsim, ka apgalvojums ar \(n=k\) ir patiess.

C_{2}^{2} + C_{3}^{2} + C_{4}^{2} + ... + C_{k}^{2} = C_{k + 1}^{3}

3) Induktīvā pāreja. Pierādīsim, ka patiess ir arī apgalvojums, ja \(n=k+1\)

Papildini ar skaitļiem!

C_{2}^{2} + C_{3}^{2} + C_{4}^{2} + ... + C_{k}^{i} + C_{k + i}^{i} = C_{k + i}^{i}

Izmantojot induktīvo pieņēmumu, iegūstam, ka jāpierāda:

C_{i}^{i} + C_{i}^{2} = C_{k + i}^{i}

Papildini ar izteiksmi vai skaitli!

Kreisās un labās puses pārveidojumus papildini ar skaitļiem!

Pārveidojam kreiso pusi:

\begin{array}{l} \frac{(k + i)!}{3! (k - i)!} + \frac{(k + 1)!}{2! (k - i)!} = \\ = \frac{\underline{(k + 1)} k (k - 1) + i \underline{(k + 1)} k}{i} = \\ = \frac{(k + 1) (k + i) k}{i} \end{array}

Pārveidojam labo pusi:

\begin{array}{l} \frac{(k + 2)!}{i! (k - i)!} = \\ = \frac{(k + 2) (k + 1) k (k - 1)!}{i! (k - 1)!} = \\ = \frac{(k + i) (k + 2) k}{i} \end{array}

Redzam, ka vienādības labā puse sakrīt ar kreiso pusi.

Tātad

C_{2}^{2} + C_{3}^{2} + C_{4}^{2} + ... + C_{n}^{2} = C_{n + 1}^{3}

n \geq 2

Pārbaudi, kā šī īpašība izpildās Paskāla trijstūrī ar skaitļiem!

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Skola2030

Atradi kļūdu?

Lai iesniegtu atbildi un redzētu rezultātus, Tev nepieciešams autorizēties. Lūdzu, ielogojies savā profilā vai reģistrējies portālā!

Ieiet portālā vai Reģistrēties

20. Pierādījums ar MIP