Matemātiskā indukcija. Bezgalīgas summas formula — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Dots vispārīgs apgalvojums $1+3+5+7+…+(2n-1)=n^2$, kas izpildās jebkuram naturālam skaitlim $n$.

Redzam, ka ir dota bezgalīga summa. Pārbaudīsim dažus pirmos atsevišķos apgalvojumus.

$n$	Summa
$1$	$\begin{array}{l} 2 \cdot 1 - 1 = 1 \\ 1 = 1^{2} \end{array}$
$2$	$\begin{array}{l} 2 \cdot 2 - 1 = 3 \\ 1 + 3 = 2^{2} \end{array}$
$3$	$\begin{array}{l} 2 \cdot 3 - 1 = 5 \\ 1 + 3 + 5 = 3^{2} \end{array}$
$4$	$\begin{array}{l} 2 \cdot 4 - 1 = 7 \\ 1 + 3 + 5 + 7 = 4^{2} \end{array}$
$5$	$\begin{array}{l} 2 \cdot 5 - 1 = 9 \\ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5^{2} \end{array}$
$...$	$...$

Aplūkosim šīs summas ģeometrisko interpretāciju.

Izvēlamies kvadrātiņu skaitu atbilstoši katram saskaitāmam. No kvadrātiņiem būvējam lielāku kvadrātu. Redzam, ka kvadrātiņu summa atbilst lielā kvadrāta laukumam. Ievēro, ka $n$ sakrīt ar lielā kvadrāta malas garumu.

Pierādīsim, ka vienādība $1+3+5+7+…+(2n-1)=n^2$ izpildās katram naturālam $n$.

Lai pierādītu apgalvojumu, lietosim matemātiskās indukcijas principu.

Nosauksim doto apgalvojumu par $A(n).$
1) Indukcijas bāze. Ja $n=1$, tad vienādība $A(1)$ ir patiesa, jo

\begin{array}{l} 2 \cdot 1 - 1 = 1^{2} \\ 1 = 1 \end{array}

2) Induktīvais pieņēmums.

Izvēlēsimies kaut kādu naturālu skaitli $k$ un pieņemsim, ka vienādība $A(k)$ ir pareiza, t.i., ka $1+3+5+…+(2k-1)=k^2$
Tātad pieņemam, ka $k$ mazajiem kvadrātiņiem dotais apgalvojums ir spēkā.

3) Induktīvā pāreja.

Pierādīsim, ka tad pareiza ir arī vienādība $A(k+1$), t.i., ($n$ aizstāj ar $k+1$). Iegūst

$1+3+5+…+(2(k+1)-1)=(k+1)^2$

Vispirms pārveidojam vienādības kreiso pusi, neaizmirstam pievienot arī pirmspēdējo saskaitāmo:

$1+3+5+…+(2k-1)+(2(k+1)-1)=$

$=1+3+5+…+(2k-1)+(2k+2-1)=$

$=1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=$

= \underset{⏟}{1 + 3 + 5 + . . . + (2 k - 1)} + (2 k + 1)

No induktīvā pieņēmuma izriet, ka

\underset{⏟}{1 + 3 + 5 + . . . + (2 k - 1)} = k^{2}

Aizstājot bezgalīgo izteiksmi ar $k^2$, iegūst:

\begin{array}{l} \underset{⏟}{1 + 3 + 5 + . . . + (2 k - 1)} + (2 k + 1) = \\ = k^{2} + (2 k + 1) = \\ = k^{2} + 2 k + 1 = \\ = {(k + 1)}^{2} \end{array}

Salīdzinām ar vienādības labo pusi – ar to izteiksmi, kura ir jāiegūst.

Redzam, ka labajā un kreisajā pusē izteiksmes ir vienādas.

Secinājums.

Gan indukcijas bāze, gan pāreja ir pierādītas.

Pēc matemātiskās indukcijas principa vispārīgais apgalvojums $A(n)$ "$1+3+5+…+(2n-1)=n^2$ visiem naturāliem $n$" ir pierādīts.

Drīkst vienlaicīgi pārveidot vienādības abas puses.

Pamēģini patstāvīgi pierādīt apgalvojumu $1+3+5+7+…+(2n+1)=(n+1)^2$ jebkuram naturālam $n$.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa, JTV skolotāja

Skola2030 kursi

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

\(n\)	Summa
\(1\)	$\begin{array}{l} 2 \cdot 1 - 1 = 1 \\ 1 = 1^{2} \end{array}$
\(2\)	$\begin{array}{l} 2 \cdot 2 - 1 = 3 \\ 1 + 3 = 2^{2} \end{array}$
\(3\)	$\begin{array}{l} 2 \cdot 3 - 1 = 5 \\ 1 + 3 + 5 = 3^{2} \end{array}$
\(4\)	$\begin{array}{l} 2 \cdot 4 - 1 = 7 \\ 1 + 3 + 5 + 7 = 4^{2} \end{array}$
\(5\)	$\begin{array}{l} 2 \cdot 5 - 1 = 9 \\ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5^{2} \end{array}$
\(...\)	\(...\)

9. Matemātiskā indukcija. Bezgalīgas summas formula

Teorija