Nevienādība ar faktoriālu. MIP — uzdevums. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Pierādi nevienādību

2^{n} < n!

, ja

n \geq 6

Papildini pierādījumu!

Apgalvojumu "

2^{n} < n!

" apzīmē ar \(A(n)\).

1) Indukcijas bāze.

Izteikums \(A(\)6\()\) ir patiess, jo

2) Induktīvais pieņēmums.

Pieņemam, ka brīvi izvēlētam naturālam skaitlim \(k\) izteikums \(A(k)\) ir patiess, t.i.,

, ja

k \geq 6

3) Induktīvā pāreja.

Pierādīsim, ka patiess ir izteikums \(A(k+1)\), t.i.,

Pārveidosim nevienādības kreiso pusi un labo pusi.

Ieraksti trūkstošos skaitļus, burtus un simbolus!

2^{k} \cdot i < (k + i) \cdot i

Pēc induktīvā pieņēmuma

Viegli pārbaudīt, ka

(ja

k \geq 6

Tātad

, ja

k \geq 6

Secinājums

Gan indukcijas bāze, gan pāreja ir pierādītas.

Redzam, ka no izteikuma \(A(k)\) patiesuma seko \(A(k+1)\) patiesums.

Esam pierādījuši \(A(n)\) patiesumu visām \(n\) vērtībām.

Atbilžu varianti:

2^{k + 1} < (k + 1)!

2^{k} < k!

2^{6} < 720

2 < k + 1

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa, JTV skolotāja

Atradi kļūdu?

Lai iesniegtu atbildi un redzētu rezultātus, Tev nepieciešams autorizēties. Lūdzu, ielogojies savā profilā vai reģistrējies portālā!

Ieiet portālā vai Reģistrēties

19. Nevienādība ar faktoriālu. MIP