Dalīšanās pierādīšana ar MIP II — uzdevums. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Pierādi, ka katram naturālam skaitlim \(n\) izteiksme

14^{2 n} - 1

dalās ar 195.

Pierādījums

Apgalvojums \(A(n)\) - izteiksme

14^{2 n} - 1

dalās ar 195 jebkurai naturālai \(n\) vērtībai.

1) Indukcijas bāze.

Izteikums \(A(1)\) ir patiess, jo

i^{2} - i = i

, kas dalās ar .

2) Induktīvais pieņēmums.

Pieņemsim, ka brīvi izvēlētam naturālam skaitlim \(k\) izteikums \(A(k)\) ir patiess, t.i.,

i^{i} - i

dalās ar .

3) Induktīvā pāreja.

Pierādīsim, ka patiess ir izteikums \(A(k+1)\), t.i.,

i^{2 k + i} - i

dalās ar .

Pielietojot pakāpju īpašību

a^{n + m} = a^{n} \cdot a^{m}

, iegūst, ka

14^{2 k + 2} - 1 = i {\cdot 14}^{i} - i

Lai varētu izmantot induktīvo pieņēmumu, no izteiksmes atņemsim un arī pieskaitīsim skaitli 196, izveidosim nepieciešamās iekavas:

\begin{array}{l} 14^{2 k} \cdot 14^{2} \underline{- 196} + \underline{i} - 1 = \\ = i (14^{2 k} - 1) + i \end{array}

Pārbaudām, vai iegūtā izteiksme dalās ar :

Tātad arī summa dalās ar .

Secinājums

Gan indukcijas bāze, gan pāreja ir pierādītas.

Redzam, ka no izteikuma \(A(k)\) patiesuma seko \(A(k+1)\) patiesums.

Esam pierādījuši \(A(n)\) patiesumu visām \(n\) vērtībām.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa, JTV skolotāja

Atradi kļūdu?

Lai iesniegtu atbildi un redzētu rezultātus, Tev nepieciešams autorizēties. Lūdzu, ielogojies savā profilā vai reģistrējies portālā!

Ieiet portālā vai Reģistrēties

6. Dalīšanās pierādīšana ar MIP II