Ar MIP pierāda starpības dalīšanos — uzdevums. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Pierādi, ka

9^{2 n} - 80 n - 1

dalās ar 160 jebkurām naturālām \(n\) vērtībām.

Papildini doto pierādījumu!

Doto apgalvojumu apzīmē ar \(A(n)\).

Jāpierāda, ka

9^{2 n} - 80 n - 1

dalās ar 160 visām naturālām \(n\) vērtībām.

Apzīmē doto apgalvojumu ar \(A(n)\).
Indukcijas bāze.

Ja \(n=1\), tad

9^{2} - 80 \cdot 1 - 1 = i

, tātad dalās ar 160.

Apgalvojums ir patiess.

Induktīvais pieņēmums.

Pieņemam, ka apgalvojums \(A(k)\) ir patiess, t.i.,

9^{2 k} - 80 k - 1

dalās ar 160.

Induktīvā pāreja.

Pārbaudīsim, vai ir patiess apgalvojums \(A(k+1)\), t.i., pārbaudīsim vai

9^{2 k + i} - 80 (k + i) - 1

dalās ar 160.

Pārveidojam šo izteiksmi, atdalām induktīvā pieņēmuma izteiksmi:

\begin{array}{l} ... \\ = 9^{2 k} \cdot i - \underline{80 k} - 80 \underline{- i} = \\ ... \\ = \underline{9^{2 k} - 80 k - 1} + (i \cdot 9^{2 k} - i) \end{array}

Pēc induktīvā pieņēmuma, izteiksme

9^{2 k} - 80 k - 1

dalās ar .

Vēl jāpierāda, ka

(i \cdot 9^{2 k} - i)

arī dalās ar .

Iznesot pirms iekavām skaitli , iegūst reizinājumu

i (9^{2 k} - 1)

Reizinātājs

(9^{2 k} - 1)

ir skaitlis.

Var secināt, ka reizinājums dalās ar .

Tātad

9^{2 (k + 1)} - 80 (k + 1) - 1

dalās ar .

Secinājums

Gan indukcijas bāze, gan pāreja ir pierādītas.

Redzam, ka no izteikuma \(A(k)\) patiesuma seko \(A(k+1)\) patiesums.

Esam pierādījuši \(A(n)\) patiesumu visām \(n\) vērtībām.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Atradi kļūdu?

Lai iesniegtu atbildi un redzētu rezultātus, Tev nepieciešams autorizēties. Lūdzu, ielogojies savā profilā vai reģistrējies portālā!

Ieiet portālā vai Reģistrēties

12. Ar MIP pierāda starpības dalīšanos