Ar MIP pierāda bezgalīgas summas ar daļām formulu — uzdevums. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Pierādi, ka katram naturālam \(n\) izpildās apgalvojums

\frac{1}{1 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 11} + ... + \frac{1}{(5 n - 4) (5 n + 1)} = \frac{n}{5 n + 1}

Papildini doto pierādījumu ar skaitļiem un/vai burtiem!

Doto apgalvojumu apzīmē ar \(A(n)\).

1) Indukcijas bāze. Izpildās \(A(1)\). Ja \(n=1\), tad

\begin{array}{l} \frac{1}{1 \cdot 6} = \frac{1}{5 \cdot 1 + i} \\ \frac{1}{6} = \frac{1}{6} \end{array}

Redzams, ka vienādība ir patiesa.

2) Induktīvais pieņēmums. Pieņemsim, ka fiksētam naturālam skaitlim \(k\) apgalvojums \(A(k)\) ir patiess, t.i.,

\frac{1}{1 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 11} + ... + \frac{1}{(5 k - 4) (5 k + 1)} = \frac{k}{i}

3) Induktīvā pāreja. Izmantojot induktīvo pieņēmumu, pierādīsim atsevišķo apgalvojumu \(A(k+1)\):

\frac{1}{1 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 11} + ... + \frac{1}{(5 k - 4) (5 k + 1)} + \frac{1}{(5 (k + 1) - 4) (5 (k + 1) + 1)} = \frac{k + 1}{5 (k + 1) + 1}

jeb

\frac{1}{1 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 11} + ... + \frac{1}{(5 k - 4) (5 k + 1)} + \frac{1}{(i k + 1) (5 k + 6)} = \frac{k + 1}{5 k + i}

Izmantojot induktīvo pieņēmumu, iegūstam sekojošu vienādību, kuru jāpierāda:

\frac{k}{i} + \frac{1}{(5 k + 1) (5 k + 6)} \overset{?}{=} \frac{k + 1}{5 k + 6}

Atrodam kopsaucēju:

\begin{array}{l} \frac{k^{(\cdot (5 k + 6)}}{i} + \frac{1}{(5 k + 1) (5 k + 6)} \overset{?}{=} \frac{{(k + 1)}^{(\cdot (i)}}{(5 k + 6)} \\ \frac{k (5 k + 6) + 1}{(5 k + 1) (5 k + 6)} \overset{?}{=} \frac{(k + 1) (5 k + 1)}{(5 k + 6) (5 k + 1)} \\ \frac{5 k^{2} + i + 1}{(5 k + 1) (5 k + 6)} = \frac{5 k^{2} + i + 1}{(5 k + 1) (5 k + 6)} \end{array}

Secinājums

Gan indukcijas bāze, gan pāreja ir pierādītas.

Redzam, ka no izteikuma \(A(k)\) patiesuma seko \(A(k+1)\) patiesums.

Esam pierādījuši \(A(n)\) patiesumu visām \(n\) vērtībām.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa, JTV skolotāja

Atradi kļūdu?

Lai iesniegtu atbildi un redzētu rezultātus, Tev nepieciešams autorizēties. Lūdzu, ielogojies savā profilā vai reģistrējies portālā!

Ieiet portālā vai Reģistrēties

14. Ar MIP pierāda bezgalīgas summas ar daļām formulu