Vienādojumi, kurus risina, logaritmējot abas vienādojuma puses — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Matemātika II - jauna mācību tēma

"Pakāpes funkcija un logaritmiskā funkcija"

Aplūkosim vienādojumus

$x^{\log_{2} x - 2} = 8$ ;
$x^{\lg x} = 10 x$ .

Var redzēt, ka vienādojumiem nezināmais atrodas pakāpes bāzē un pakāpes kāpinātājā.

Šādus vienādojumus risina, logaritmējot abas vienādojuma puses. Abas vienādojuma puses logaritmē pie tādas pašas bāzes, kāda ir dotā logaritma bāze.

Pirmajā piemērā logaritma bāze ir $2$, otrajā tā ir $10$.

Piemērs:

Atrisināt vienādojumu

x^{\log_{2} x - 2} = 8

Atrisinājums.

Dotā vienādojuma definīcijas apgabals ir tās $x$ vērtības, kurām $x>0$.

Aplūkojot tās $x$ vērtības, kuras pieder pie definīcijas apgabala, dotā vienādojuma abas puses var logaritmēt pie bāzes $2$:

\log_{2} (x^{\log_{2} x - 2}) = \log_{2} 8

Kreisajā pusē pielietojot likumu

\log_{a} x^{n} = n \cdot \log_{a} x

, bet labajā pusē, aprēķinot logaritma vērtību, iegūst vienādojumu:

(\log_{2} x - 2) \cdot \log_{2} x = 3

Atver iekavas

\log_{2}^{2} x - 2 \log_{2} x - 3 = 0

Lietojot substitūcijas metodi (apzīmējot), iegūst,

\begin{array}{l} \log_{2} x = t \\ t^{2} - 2 t - 3 = 0 \\ t_{1} = 3 \\ t_{2} = - 1 \\ 1) \log_{2} x = 3 \\ x = 2^{3} \\ x = 8 \\ 2) \log_{2} x = - 1 \\ x = 2^{- 1} \\ x = \frac{1}{2} \end{array}

Abas $x$ vērtības pieder definīcijas apgabalam ($x>0$), tātad tās ir dotā vienādojuma saknes.

Atbilde:

x = 8, x = \frac{1}{2}

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamais uzdevums

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

Video mācību materiāli

"MATEMĀTIKA II"

PALĪGSMĀCĪBĀS.LV

3. Vienādojumi, kurus risina, logaritmējot abas vienādojuma puses

Teorija