Nevienādība |logx|>a — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Matemātika II - jauna mācību tēma

"Pakāpes funkcija un logaritmiskā funkcija"

Lai atrisinātu nevienādību \(|x|>a\) (vai \(\geq a\)), atbrīvojas no moduļa zīmes, balstoties moduļa ģeometriskajā interpretācijā.

Modulis ir skaitļa attālums līdz nullei.

Ja dots, ka \(|x|>4\), tad skaitlis \(x\) atrodas vairāk nekā \(4\) vienību attālumā no nulles, t.i., \(x<-4\) vai \(x>4\).

Ja \(|x| > a\), tad uz koordinātu ass jāatrod tie punkti, kuri atrodas tālāk par \(a\) vienībām no nulles (\(a>0\)).

Nevienādības \(|x| > a\) atrisinājums ir nevienādības \(x < -a\) un nevienādības \(x > a\) atrisinājumu apvienojums

Uzmanies, nepieraksti šīs nevienādības sistēmā! Šīm nevienādībām šķēlums ir tukša kopa.

Aplūkosim piemēru.

Nosaki nevienādības

|\log_{\frac{1}{2}} 4 x| > 3

atrisinājumu!

Risinājums

Nosaka definīcijas apgabalu

4 x > 0 \Rightarrow x > 0

Pēc moduļa definīcijas

\log_{\frac{1}{2}} 4 x < - 3

vai

\log_{\frac{1}{2}} 4 x > 3

Risinām divas atsevišķas nevienādības.

\begin{array}{l} \log_{\frac{1}{2}} 4 x < - 3 \\ \log_{\frac{1}{2}} 4 x < \log_{\frac{1}{2}} {(\frac{1}{2})}^{- 3} \\ 4 x > {(\frac{1}{2})}^{- 3} \\ 4 x > 2^{3} \\ 4 x > 8 \\ x > 2 \end{array}

Tā kā bāze

\frac{1}{2} > 1

, tad funkcija ir dilstoša un pārejot uz algebrisku nevienādību, nevienādības zīme mainās.

\begin{array}{l} \log_{\frac{1}{2}} 4 x > 3 \\ \log_{\frac{1}{2}} 4 x > \log_{\frac{1}{2}} {(\frac{1}{2})}^{3} \\ 4 x < \frac{1}{8} \\ x < \frac{1}{32} \end{array}

Dotā uzdevuma atrisinājums ir abu nevienādību atrisinājumu apvienojums šķelts ar definīcijas apgabalu. Skat. zīm.

\frac{1}{32}

Atbilde:

x \in (0; \frac{1}{32}) \cup (2; + \infty)

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Atradi kļūdu?

Video mācību materiāli

"MATEMĀTIKA II"

4. Nevienādība |logx|>a