Logaritmisko vienādojumu risināšana pēc definīcijas — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Logaritmiskā vienādojuma atrisināšanai var izmantot logaritma definīciju, t.i., sakarību

\log_{a} f (x) = b \Leftrightarrow f (x) = a^{b}

Svarīgi!

Neatkarīgi no risinājuma metodes, jebkura logaritmiskā vienādojuma atrisinājumā ir jāuzraksta definīcijas apgabals.

Tālāk rīkoties var divejādi - var atrisināt definīcijas apgabalu vai arī veikt visu iegūto sakņu pārbaudi definīcijas apgabalā.

Ja dota funkcija

\log_{a} f (x)

, tad tās definīcijas apgabals ir

\{\begin{cases} f (x) > 0 \\ a > 0 \\ a \neq 1 \end{cases}

Ja uzdevumā bāze

a

ir konstants skaitlis, tad definīcijas apgabalā to var nerakstīt (skaties 1. piemēru).

Lai varētu atklāt savas kļūdas, var veikt pārbaudi arī dotajā vienādojumā.

Piemērs:

Dots vienādojums

\lg (x - 10) = 1

Risinājums:

\log_{10} (x - 10) = 1

Pēc logaritma definīcijas:

\begin{array}{l} x - 10 = 10^{1} \\ x = 10 + 10 \\ x = 20 \end{array}

Definīcijas apgabals:

x - 10 > 0

jeb

x > 10

, tātad sakne

x = 20

ir derīga.

Atbilde:

x = 20

Piemērs:

Dots vienādojums

\log_{x + 1} (x^{2} + 5 x - 5) = 2

Risinājums:

x^{2} + 5x - 5 = {(x + 1)}^{2}

x^{2} + 5 x - 5 = x^{2} + 2 x + 1

\begin{array}{l} 5 x - 5 = 2 x + 1 \\ 3 x = 6 \\ x = 2 \end{array}

Definīcijas apgabals:

\{\begin{cases} x^{2} + 5 x - 5 > 0 \\ x + 1 > 0 \\ x + 1 \neq 1 \end{cases}

(Tā kā atrisināt šo sistēmu nav vienkārši, tad var izvēlēties veikt pārbaudi.)

Pārbaude:

\{\begin{cases} 2^{2} + 5 \cdot 2 - 5 > 0 \\ 2 + 1 > 0 \\ 2 + 1 \neq 1 \end{cases}

Tātad sakne

x = 2

ir derīga.

Atbilde:

x = 2

Iepriekšējā teorija

Atradi kļūdu?

2. Logaritmisko vienādojumu risināšana pēc definīcijas