Logaritmiskais un eksponentvienādojums sistēmā — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Matemātika II - jauna mācību tēma

"Pakāpes funkcija un logaritmiskā funkcija"

Eksponentvienādojumu un logaritmisko vienādojumu sistēmas parasti risina reducējot eksponentvienādojumu (vai logaritmisko vienādojumu) par algebrisku vienādojumu un pēc tam atrisinot iegūto algebrisko sistēmu.

Piemērs:

Atrisināt vienādojumu sistēmu

\{\begin{cases} \log_{2} 3 + \log_{2} y = \log_{2} x \\ 2^{x} \cdot 2^{y^{2}} = 16 \end{cases}

Dotās vienādojumu sistēmas definīcijas apgabals:

\{\begin{cases} x > 0 \\ y > 0 \end{cases}

Izmantojot formulu

\log_{2} x + \log_{2} y = \log_{2} (xy)

, no sistēmas pirmā vienādojuma iegūst, ka

\begin{array}{l} \log_{2} (3 y) = \log_{2} x \\ 3 y = x \\ x = 3 y \end{array}

Iegūst sistēmu

\{\begin{cases} x = 3 y \\ 2^{x} \cdot 2^{y^{2}} = 16 \end{cases}

Izmanto ievietošanas paņēmienu otrajā rindiņā \(x\) vietā ievieto iegūto izteiksmi

\begin{array}{l} 2^{3 y} \cdot 2^{y^{2}} = 16 \\ 2^{3 y + y^{2}} = 2^{4} \\ 3 y + y^{2} = 4 \\ y^{2} + 3 y - 4 = 0 \end{array}

Iegūtā kvadrātvienādojuma saknes ir

y_{1} = 1; y_{2} = - 4

Otrā sakne neapmierina definīcijas apgabala prasības.

Atgriežas pie vienādojumu sistēmas:

\begin{array}{l} \{\begin{cases} x = 3 \cdot 1 \\ y = 1 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x = 3 \\ y = 1 \end{cases} \end{array}

Atbilde: \((3;1)\)

Dažas eksponentvienādojumu un logaritmisko vienādojumu sistēmas var reducēt par racionālu vienādojumu sistēmām uzreiz tieši, dotos logaritmus (vai attiecīgi pakāpes) apzīmējot ar jaunu nezināmo.

Piemērs:

Atrisināt vienādojumu sistēmu