Logaritmiskais un eksponentvienādojums sistēmā — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Eksponentvienādojumu un logaritmisko vienādojumu sistēmas parasti risina reducējot eksponentvienādojumu (vai logaritmisko vienādojumu) par algebrisku vienādojumu un pēc tam atrisinot iegūto algebrisko sistēmu.

Piemērs:

Atrisināt vienādojumu sistēmu

\{\begin{cases} \log_{2} 3 + \log_{2} y = \log_{2} x \\ 2^{x} \cdot 2^{y^{2}} = 16 \end{cases}

Dotās vienādojumu sistēmas definīcijas apgabals:

\{\begin{cases} x > 0 \\ y > 0 \end{cases}

Izmantojot formulu

\log_{2} x + \log_{2} y = \log_{2} (xy)

, no sistēmas pirmā vienādojuma iegūst, ka

\begin{array}{l} \log_{2} (3 y) = \log_{2} x \\ 3 y = x \\ x = 3 y \end{array}

Iegūst sistēmu

\{\begin{cases} x = 3 y \\ 2^{x} \cdot 2^{y^{2}} = 16 \end{cases}

Izmanto ievietošanas paņēmienu otrajā rindiņā \(x\) vietā ievieto iegūto izteiksmi

\begin{array}{l} 2^{3 y} \cdot 2^{y^{2}} = 16 \\ 2^{3 y + y^{2}} = 2^{4} \\ 3 y + y^{2} = 4 \\ y^{2} + 3 y - 4 = 0 \end{array}

Iegūtā kvadrātvienādojuma saknes ir

y_{1} = 1; y_{2} = - 4

Otrā sakne neapmierina definīcijas apgabala prasības.

Atgriežas pie vienādojumu sistēmas:

\begin{array}{l} \{\begin{cases} x = 3 \cdot 1 \\ y = 1 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x = 3 \\ y = 1 \end{cases} \end{array}

Atbilde: \((3;1)\)

Dažas eksponentvienādojumu un logaritmisko vienādojumu sistēmas var reducēt par racionālu vienādojumu sistēmām uzreiz tieši, dotos logaritmus (vai attiecīgi pakāpes) apzīmējot ar jaunu nezināmo.

Piemērs:

Atrisināt vienādojumu sistēmu