Divu krustisku hordu sakarība. Pierādījums — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Par hordu sauc nogriezni, kas savieno divus riņķa līnijas punktus.

Teorēma. Ja divas hordas krustojas, tad vienas hordas nogriežņu garumu reizinājums ir vienāds ar otras hordas nogriežņu garumu reizinājumu.

YCUZD_221026_4540_Leņķi un nogriežņi riņķī.svg

Dots: hordas \(AB\) un \(CD\), kas krustojas punktā \(E\)

Jāpierāda:

AE \cdot EB = CE \cdot ED

Pierādījums

Novelkam nogriežņus \(AC\) un \(BD.\)

Δ ACE \sim Δ DBE

, pēc pazīmes (l,l), jo šo trijstūru atbilstošie leņķi balstās uz viena un tā paša loka.

\begin{array}{l} ∢ A = ∢ D = \frac{1}{2} \cup BC \\ ∢ B = ∢ C = \frac{1}{2} \cup AD \end{array}

Izmantojot trijstūru līdzību

Δ \underline{A} C \underline{\underline{E}} \sim Δ \underline{D} B \underline{\underline{E}}

, uzrakstām atbilstošo malu proporciju:

\frac{AE}{DE} = \frac{CE}{BE}

Izmantojot proporcijas pamatīpašību, uzraksta reizinājumu:

AE \cdot BE = CE \cdot DE

jeb

AE \cdot EB = CE \cdot ED

Tas bija jāpierāda.

Formulu lapa

Piemērs:

Divas hordas krustojoties sadalījušās sekojoši: vienas hordas nogriežņi ir 48 cm un 3 cm, bet otras hordas nogriežņi ir vienāda garuma. Aprēķini otras hordas garumu.

Risinājums

Apzīmēsim hordas ar \(AB\) un \(CD\), un to krustpunktu ar \(E\).

Tad izpildās sakarība

AE \cdot EB = CE \cdot ED

Pieņemsim, ka

AE = 48

cm un

EB = 3

cm.

Apzīmēsim

CE = ED = x

\begin{array}{l} 48 \cdot 3 = x \cdot x \\ x^{2} = 144 \\ x = \pm 12 \end{array}

Nogriežņa garums nevar būt negatīvs skaitlis, tāpēc

x = 12

Aprēķina otrās hordas garumu:

CE + ED = x + x = 24

cm.

Atbilde: Otrās hordas garums ir 24 cm.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja. Mg. math. Laima Baltiņa

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamais uzdevums

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

11. Divu krustisku hordu sakarība. Pierādījums

Teorija