Īsākais lauztās līnijas garums — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Aplūkosim piemēru, kurā izmanto aksiālo simetriju un taisnes vienādojumu.

Piemērs:

Koordinātu plaknē doti punkti \(A(1;2)\) un \(B(4;5). \)

Konstruē

a) punktu \(M\) tā, lai lauztās līnijas \(AMB\) garums būtu vismazākais, ja \(M\) atrodas uz taisnes \(x=0;\)

b) punktu \(K\) tā, lai lauztās līnijas \(AKB\) garums būtu vismazākais, ja \(K\) atrodas uz taisnes \(y=0;\)

c) punktu \(D\) tā, lai lauztās līnijas \(ADB\) garums būtu vismazākais, ja \(D\) atrodas uz taisnes \(y=x.\)

Nosaki punktu \(M, K, D\) koordinātas.

Risinājums

Vispirms atkārtosim, ko mācījāmies 7. klasē.

Aplūkosim trīs punktus \(A\), \(B\) un \(C\)

Caur trim punktiem var novilkt lauztu līniju.

Noskaidrosim, kādā gadījumā lauztās līnijas \(ABC\) garums ir vismazākais?

Lauztās līnijas \(ABC\) garums ir visīsākais, ja visi trīs punkti atrodas uz vienas taisnes.

Trīs punkti atrodas uz vienas taisnes, ja attālums starp diviem punktiem ir vienāds ar divu citu attālumu summu:

AB + BC = AC

Izmantosim šo īpašību dotajā uzdevumā.

Attēlojam dotos punktus koordinātu plaknē

a) Atradīsim punktu \(M\), ja tas atrodas uz \(Oy\) ass.

Veiksim papildus konstrukciju: atrod punktam \(B\) pret \(Oy\) asi simetrisku punktu

B_{1}

Savienojot doto punktu \(A\) ar

B_{1}

, iegūst krustpunktu ar \(Oy\) asi. Apzīmējam to ar \(M.\)

Ievēro, ka

B_{1} M + MA = B_{1} A

Tā kā

B_{1} M = BM

, tad

B_{1} M + MA = BM + MA

. Esam atraduši nogriezni \(BM\), ar kuru lauztās līnijas garums ir vismazākais.

Noteiksim punkta \(M\) koordinātas.

Izmantosim caur punktiem \(A\) un

B_{1}

novilktas taisnes vienādojumu. Formulu var atrast matemātika I formulu lapā

\begin{array}{l} \frac{x - x_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{y - y_{1}}{y_{2} - y_{1}} \\ A (1; 2), B_{1} (- 4; 5) \\ \frac{x - 1}{- 4 - 1} = \frac{y - 2}{5 - 2} \\ \frac{x - 1}{- 5} = \frac{y - 2}{3} \end{array}

Ieguvām taisnes

A B_{1}

kanonisko vienādojumu. Ja taisne krusto \(Oy\) asi, tad \(x=0.\)

\begin{array}{l} \frac{0 - 1}{- 5} = \frac{y - 2}{3} \\ \frac{1}{5} = \frac{y - 2}{3} \\ 5 y - 10 = 3 \\ y = \frac{13}{5} = 2 \frac{3}{5} \end{array}

Tātad punkta \(M\) koordinātas ir

M (0; 2 \frac{3}{5})

b) Līdzīgi rīkojamies, lai atrastu punktu \(K\).

Skat. konstrukciju.

Lai noteiktu punkta \(K\) koordinātas, atrodam taisnes \(AK\) vienādojumu:

\begin{array}{l} A (1; 2), B_{1} (4; - 5) \\ \frac{x - 1}{4 - 1} = \frac{y - 2}{- 5 - 2} \\ \frac{x - 1}{3} = \frac{y - 2}{- 7} \\ \underline{\underline{y = 0}} \\ \frac{x - 1}{3} = \frac{0 - 2}{- 7} \\ \frac{x - 1}{3} = \frac{2}{7} \\ 7 x = 13 \\ x = \frac{13}{7} = 1 \frac{6}{7} \end{array}

Tātad meklētā punkta \(K\) koordinātas ir

K (1 \frac{6}{7}; 0)

c) Veicam iepriekšējo konstrukciju attiecībā pret taisni \(y=x.\)

Lai noteiktu punkta \(D\) koordinātas, taisnes \(AD\) vienādojumā ievieto \(y=x\).

\begin{array}{l} A (1; 2), B_{1} (5; 4) \\ \frac{x - 1}{5 - 1} = \frac{y - 2}{4 - 2} \\ \frac{x - 1}{4} = \frac{y - 2}{2} \\ 2 (x - 1) = 4 (y - 2) | : 2 \\ x - 1 = 2 y - 4 \\ \underline{\underline{x = y}} \\ y - 1 = 2 y - 4 \\ y = 3 \\ x = 3 \end{array}

Tātad punkta \(D\) koordinātas ir \(D(3;3).\)

Uzdevumu var risināt arī citā veidā, izveidojot attāluma funkciju un nosakot tās ekstrēmus ar atvasinājumu.

Risinājuma ideja īsumā a) piemēram:

\begin{array}{l} M (0; y), A (1; 2) \\ |AM| = \sqrt{{(0 - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2}} \\ M (0; y), B (4; 5) \\ |MB| = \sqrt{{(0 - 4)}^{2} + {(5 - y)}^{2}} \\ f (y) = \sqrt{1 + {(y - 2)}^{2}} + \sqrt{16 + {(5 - y)}^{2}} \end{array}

Iegūto funkciju atvasina, pielietojot pakāpes atvasināšanas likumu un saliktas funkcijas atvasināšanas likumu

{\sqrt{x}}^{'} = {(x^{\frac{1}{2}})}^{'} = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} = \frac{2}{2 \sqrt{x}}

\sqrt{g (x)} = \frac{1}{2 \sqrt{g (x)}} \cdot g^{'} (x)

Tātad

\begin{array}{l} f^{'} (y) = \frac{2 (y - 2)}{2 \sqrt{1 + {(y - 2)}^{2}}} + \frac{2 (5 - y) \cdot (- 1)}{2 \sqrt{16 + {(5 - y)}^{2}}} \\ f^{'} (y) = 0 \\ ... \end{array}

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Skola2030 kursu materiāli

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamais uzdevums

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

6. Īsākais lauztās līnijas garums

Teorija