Ap četrstūri apvilkta riņķa līnija. Pierādījums — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Matemātika II - jauna mācību tēma

"Pakāpes funkcija un logaritmiskā funkcija"

Četrstūri, kura visas virsotnes atrodas uz riņķa līnijas, sauc par ievilktu četrstūri, bet riņķa līniju - par četrstūrim apvilktu riņķa līniju.

Teorēma. Ievilkta četrstūra pretējo leņķu summa ir \(180\) grādi.

Pierādīsim šo teorēmu.

Dots: \(ABCD\) - ievilkts četrstūris

Jāpierāda:

\begin{array}{l} ∢ A + ∢ C = 180 ° \\ ∢ B + ∢ D = 180 ° \end{array}

Pierādījums

Izmantosim teorēmu par riņķī ievilktā leņķa lielumu: ievilkta leņķa lielums ir vienāds ar pusi no loka leņķiskā lieluma, uz kura tas balstās.

\begin{array}{l} ∢ A = \frac{1}{2} \overset{\cup}{BCD} \\ ∢ C = \frac{1}{2} \overset{\cup}{BAD} \end{array}

\begin{array}{l} ∢ A + ∢ C = \frac{1}{2} \overset{\cup}{BCD} + \frac{1}{2} \overset{\cup}{BAD} \\ ∢ A + ∢ C = \frac{1}{2} (\overset{\cup}{BCD} + \overset{\cup}{BAD}) = \frac{1}{2} 360 ° = 180 ° \end{array}

Tā kā četrstūra iekšējo leņķu summa ir \(360°\), tad

\begin{array}{l} ∢ B + ∢ D = 360 ° - (∢ A + ∢ C) \\ ∢ B + ∢ D = 360 ° - 180 ° = 180 ° \end{array}

Tas bija jāpierāda.

Ir spēkā arī apgrieztā teorēma

Apgrieztā teorēma. Ja četrstūra pretējo leņķu summa ir \(180°\), tad ap četrstūri var apvilkt riņķa līniju.

Pierādīsim šo teorēmu, pieņemot pretējo.

Dots:

∢ B + ∢ ADC = 180 °

Jāpierāda: ap četrstūri var apvilkt riņķa līniju

Pierādījums

Caur jebkuriem trim punktiem, kas neatrodas uz vienas taisnes, var novilkt riņķa līniju. Iedomāsimies, ka riņķa līnija ir novilkta caur četrstūra virsotnēm \(A\), \(B\) un \(C\), bet neiet caur virsotni \(D\), bet caur kādu citu punktu

D_{1}

1) Pieņemam, ka virsotne \(D\) atrodas riņķa līnijas iekšpusē.

Pēc tiešās teorēmas:

∢ B + ∢ D_{1} = 180 °

, bet pēc dotā

∢ B + ∢ ADC = 180 °

. Var secināt, ka

∢ ADC = ∢ D_{1}

, bet tas nav iespējams, jo trijstūra ārējais leņķis ir lielāks par katru iekšējo leņķi, kas nav tā blakusleņķis. Šajā gadījumā leņķis \(D\) ir trijstūra