Četrstūrī ievilkta riņķa līnija — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

PIRMĀ SEMESTRA NOSLĒGUMA TESTI

Četrstūri, kura visas malas pieskaras riņķa līnijai, sauc par apvilktu četrstūri, bet riņķa līniju - par četrstūrī ievilktu riņķa līniju. Var arī teikt, ka visas četrstūra malas ir riņķa līnijas pieskares.

Teorēma. Ap riņķa līniju apvilkta četrstūra pretējo malu summas ir vienādas: \(a + c = b + d.\)

Ne jebkurā četrstūrī var ievilkt riņķa līniju. Ir spēkā arī apgrieztā teorēma.

Apgrieztā teorēma. Ja četrstūra pretējo malu garumu summas ir vienādas, tad četrstūrī var ievilkt riņķa līniju.

Abas teorēmas var uzrakstīt sekojoši:

Riņķa līniju var ievilkt četrstūrī tad un tikai tad, ja tā pretējo malu summas ir vienādas.

Pārskats par četrstūriem, kuros var ievilkt riņķa līniju

1) Riņķa līnijai apvilkts kvadrāts

Kvadrātā ievilktas riņķa līnijas centrs ir diagonāļu krustpunkts.

Rādiuss ir puse no kvadrāta malas.

2) Riņķa līnijai apvilkts rombs

Rombā ievilktas riņķa līnijas centrs ir diagonāļu krustpunkts.

Rādiuss ir puse no romba augstuma.

Var lietot formulu:

r = \frac{S}{p}

, kur \(S\) - romba laukums, \(p\) - pusperimetrs.

3) Riņķa līnijai apvilkta trapece, kurai pretējo malu summas ir vienādas.

Trapecē ievilktas riņķa līnijas centrs ir bisektrišu krustpunkts.

Rādiuss ir puse no augstuma. Ievēro, ka tā var nebūt vienādsānu trapece.

4) Riņķa līnijai apvilkts četrstūris, kuram pretējo malu summas ir vienādas

Ievilktas riņķa līnijas centrs ir bisektrišu krustpunkts.

Formula

r = \frac{S}{p}

, kur \(S\) - četrstūra laukums, \(p\) - pusperimetrs

Ap riņķa līniju apvilkta četrstūra laukumu aprēķina \(S = pr\).

Piemērs:

Aprēķini apvilktas trapeces laukumu, ja tās sānu malas ir

4 cm

6 cm

, bet ievilktās riņķa līnijas rādiuss ir

2 cm

Risinājums:

Trapeces laukuma formula

S = \frac{a + b}{2} \cdot h

, kur \(a\) un \(b\) ir trapeces pamati, bet \(h\) - augstums.
Tā kā trapecē ir ievilkta riņķa līnija, tad sānu malu summa ir vienāda ar pamatu summu, tātad