Paralelograma diagonāļu kvadrātu summa. Pierādījums — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Kas mums no pamatskolas ir zināms par četrstūru diagonālēm?

Paralelograma diagonāles krustpunktā dalās uz pusēm.
Romba un kvadrāta diagonāles ir perpendikulāras, tāpēc risinājumos var izmantot sakarības taisnleņķa trijstūrī (Pitagora teorēmu, sin, cos, tg).
Taisnstūra un kvadrāta diagonāles ir vienāda garuma.

Pierādīsim vēl vienu teorēmu par paralelograma diagonālēm.

Paralelograma diagonāļu kvadrātu summa ir vienāda ar tā malu kvadrātu summu.

Dots: paralelograms ar malām \(a\), \(b\) un diagonālēm

d_{1}, d_{2}

Jāpierāda:

d_{1}^{2} + d_{2}^{2} = 2 a^{2} + 2 b^{2}

Pierādījums

Uzzīmējam paralelogramu \(ABCD\).

Izvēlēsimies uz tā malām vektorus

\vec{AB} = \vec{a}, \vec{AD} = \vec{b}

Redzam, ka šajā gadījumā diagonāles ir vektoru summa un starpība:

\begin{array}{l} \vec{AC} = \vec{a} + \vec{b} \\ \vec{DB} = \vec{a} - \vec{b} \end{array}

Uzrakstām diagonāļu kvadrātu summu:

\begin{array}{l} {(\vec{AC})}^{2} = {(\vec{a} + \vec{b})}^{2} \\ {(\vec{DB})}^{2} = {(\vec{a} - \vec{b})}^{2} \\ {AC}^{2} + {DB}^{2} = {(\vec{a} + \vec{b})}^{2} + {(\vec{a} - \vec{b})}^{2} = \\ = {\vec{a}}^{2} + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + {\vec{b}}^{2} + {\vec{a}}^{2} - 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + {\vec{b}}^{2} = \\ = 2 {\vec{a}}^{2} + 2 {\vec{b}}^{2} = \\ = 2 a^{2} + 2 b^{2} \end{array}

Ievēro, vektora skalārais kvadrāts ir tā garuma kvadrāts, tāpēc pēc kāpināšanas kvadrātā vektora zīmi vairs neraksta.

AC = d_{1}, DB = d_{2}

, tad

d_{1}^{2} + d_{2}^{2} = 2 a^{2} + 2 b^{2}

Tas bija jāpierāda.

Šo sakarību viegli pierādīt arī ar kosinusu teorēmu:

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab \cdot \cos C

, kur leņķi \(C\) veido trijstūra malas \(a\) un \(b\).

Izmantosim to pašu zīmējumu, bet neņemsim vērā, ka uz malām ir atlikti vektori.

Dots: paralelograms

Jāpierāda: paralelograma diagonāļu kvadrātu summa ir vienāda ar tā malu kvadrātu summu.

Pierādījums

Uzzīmējam paralelogramu \(ABCD\).

Izvēlamies trijstūrus, kuru viena mala ir paralelograma diagonāle: trijstūri \(ABD\) un \(ABC\).

Katrā trijstūrī pielietosim kosinusu teorēmu:

\begin{array}{l} Δ ABD \\ {DB}^{2} = {AB}^{2} + {AD}^{2} - 2 AB \cdot AD \cdot \cos A (1) \\ Δ ABC \\ {AC}^{2} = {AB}^{2} + {BC}^{2} - 2 AB \cdot BC \cdot \cos B \end{array}

Zimāms, ka paralelograma malas pieleņķu summa ir \(180°.\)

Tāpēc

\begin{array}{l} {AC}^{2} = {AB}^{2} + {BC}^{2} - 2 AB \cdot BC \cdot \cos (180 ° - A) \\ \cos (180 ° - A) = - \cos A \\ {AC}^{2} = {AB}^{2} + {BC}^{2} + 2 AB \cdot BC \cdot \cos A (2) \end{array}

Saskaitot vienādības (1) un (2), iegūst:

\begin{array}{l} {{DB}^{2} + AC}^{2} = {AB}^{2} + {AD}^{2} + {AB}^{2} + {BC}^{2} \\ AD = BC \\ {{DB}^{2} + AC}^{2} = 2 {AB}^{2} + 2 {BC}^{2} \end{array}

Paralelograma diagonāļu kvadrātu summa ir vienāda ar tā malu kvadrātu summu.

Tas bija jāpierāda.

Formula ir dota matemātika I formulu lapā.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja. Mg. math. Laima Baltiņa

Atradi kļūdu?

7. Paralelograma diagonāļu kvadrātu summa. Pierādījums